파울리 행렬

수학노트
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개요

  • 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 기술하기 위한 파울리 방정식 을 찾는 과정에서 등장
  • 파울리 행렬

\[\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]



교환자 관계식

  • \([\sigma _i,\sigma _j]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\)


anti-commutator

  • \(\left\{\sigma _i,\sigma _j\right\}=2\delta _{i j}\)
  • \(\left\{I,\sigma _1,\sigma _2,\sigma _3,iI,i \sigma _1,i \sigma _2,i \sigma _3\right\}\) 를 기저로 갖는 클리포드 대수를 얻는다
  • 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수\(C(E_{3})\)와 동형이다


사원수와의 관게



sl(2)

  • raising and lowering 연산자

\[\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\] \[\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]


여러가지 관계식

$$ \sigma_{+}^2=\sigma_{-}^2=0 $$

$$ \{\sigma_{+},\sigma_{-}\}=1 $$

$$ \sigma_{+}\sigma_{-}=(1+\sigma_z)/2 $$

$$ \exp(i \frac{\pi}{2}\sigma_z)=i\sigma_z $$


스핀



역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스