파울리 방정식

수학노트
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개요

  • 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 슈뢰딩거 방정식 의 변형
  • 슈뢰딩거 방정식의 linearization 을 통해 유도할 수 있다
  • 파울리 행렬 이 등장한다

 

 

전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식

  • 다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
    • 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
    • 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
    • 맥스웰 방정식 참조
  • 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다
     \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)
     

 

파울리 방정식

  • \(\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\) 는 파울리 행렬 로 이루어진 벡터
  • 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 를 \(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})\) 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \]
  • 스핀 1/2 인 경우 성분을 나누어 다음과 같이 쓸 수 있다

\[i\hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix}=\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right]\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix}\]

 

 

스핀과 자기장의 상호작용

  • 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다

\[\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \mathbf{p} -e \mathbf A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf B \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\]

  • 이를 유도하기 위해서는 다음과 같은 결과가 필요하다
  • \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\)
    (증명)
    일반적으로  \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})\) 이 성립한다.
    연산자로서 \((\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi\)
    (\(\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}\)와 \(\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}\) 가 사용되었다) 
    즉 \((\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}\)
    따라서 \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\) ■

 

 

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