슈뢰딩거 방정식

수학노트
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개요

  • 입자가 만족시키는 파동방정식

\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r},\,t)\]

  • 운동량 연산자 \(\mathbf{p} = - i \hbar \nabla\)와 해밀토니안 \(\hat{H}=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(q)\)을 이용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다

\[i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(q)\right)\psi\] 또는 \[i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(x)\psi\]



time independent equation

\(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x)\psi\)

\(\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)\)

\(E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}\)




전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식

  • 다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
    • 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
    • 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
    • 맥스웰 방정식 참조
  • 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다

\[i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(q)\right)\psi\] 로부터 $$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})\cdot (\mathbf{p}-e\mathbf{A})+e\phi\right)\psi$$ 또는 \[i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left(\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi\right)\psi\]

  • 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 이해하기 위해서는 파울리 방정식 이 필요하다



역사



메모

  • 슈뢰딩거

In this paper I wish to consider, first, the simple case of the hydrogen atom (no-relativistic and unperturbed), and show that the customary quantum conditions can be replaced by another postulate, in which the notion of \whole numbers," merely as such, is not introduced. Rather, when integrality does appear, it arises in the same natural way as it does in the case of the node numbers of a vibrating string. The new conception is capable of generalization, and strikes, I believe, very deeply at the nature of the quantum rules. (http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m280_09/ch4.pdf 12page)


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사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Michael G. Dabkowski, Michael T. Lock, The lowest eigenvalue of Schrödinger operators on compact manifolds, arXiv:1508.02755 [math.DG], August 11 2015, http://arxiv.org/abs/1508.02755