수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

수학노트
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개요


전자의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식

  • 양성자와 전자로 구성된 시스템
    • 전자의 질량 <math>m_e</math>, 양성자의 질량 <math>m_p</math>, 전하 <math>e</math>
  • 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 :<math>V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 여기서 <math>k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}</math>
  • 해밀토니안
<math>

\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z) </math> 여기서 <math>\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})</math>는 라플라시안(Laplacian) 연산자, <math>m=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e</math> 는 환산질량 (reduced mass)

  • 전자의 파동함수 <math>\psi_{E}(x,y,z)</math>가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 <math>\hat{H}</math>의 고유값 <math>E</math> 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다
<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei}

</math> 또는

<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math>


구면좌표계와 변수분리

  • 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다
<math>\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math> 여기서
<math>

\begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} </math>

  • \ref{ei}를 만족하는 파동함수 <math>\psi_{E}</math>가 변수분리된 형태, 즉 <math>\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다
<math>

\left\{ \begin{array}{c} \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi), \\ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \end{array} \right. </math>


각 방정식

  • 구면조화함수(spherical harmonics) <math>Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>는 연산자 <math>\Delta_{S^2}</math>의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math>이다. 즉, 다음을 만족한다
<math>\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>

이 때, <math>l=0,1,2,\cdots </math>

지름 방정식

  • 파동함수가 <math>\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다
<math>\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)</math>
  • 이를 다시 풀어쓰면, <math>f</math>는 다음을 만족한다
<math>

f(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req} </math>


지름 방정식의 해

  • 미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다
<math>

r^2 f(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0 </math> 여기서 <math>a=\frac{2m}{\hbar^2}E</math>, <math>b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2</math>

양자 수와 교환자 관계식

  • 교환자 관계식
<math>

[\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 </math> 여기서

<math>L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)</math>
<math>L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }</math>
  • 양자수
    • <math>n</math> : principal quantum number, <math>n=1,2\cdots, </math>
    • <math>\ell</math> : azimuthal quantum number, <math>0\le \ell \le n-1</math>
    • <math>m</math> : magnetic quantum number, <math>-\ell \le m \le \ell</math>
  • <math>\hat{H}</math>의 고유벡터를 <math>|n,\ell,m\rangle</math>로 표현할 수 있다
<math>\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle </math>
<math> L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle </math>
<math> L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle </math>


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}]
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