클라인-고든 방정식

수학노트
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개요

  • 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
  • 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
    • real 
    • complex  - charged spin zero particles
  • 특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
  • \(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
  • \((\Box + m^2) \varphi = 0\)
    • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0\)
    • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0\)

 

 

오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}\)  에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\]   을 적용하여 얻어진다

 

 

free particle solution

  • \(\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다

 

 

 

푸리에 급수해

  • wave number k 에 대하여, \(E=k_0=\omega_k\), \(\vec{p}=\vec{k}\) 로 두자
  • real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다

\[\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\]

    • 양자화  이후에 \(a(\vec{k})\)는 annihilation operator, \(a^{\dagger}(\vec{k})\)는 creation operator 로 불린다
  • conjugate momentum

\[\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \] $$\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}] $$  

 

양자화

  • equal time commutation relations
  • \([\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})\)
  • \([\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0\)
  • \([\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0\)

 

 

 

역사

  • 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
    • negative energy states 의 존재
    • negative probability density
  • 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
  • http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
  • 수학사 연표

 

 

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