사인-고든 방정식

수학노트
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개요

  • 다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 :<math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}</math>
  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음:<math>(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0</math>
  • 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
    • kink, antikink
    • kink-kink
    • kink-antikink
    • breather


오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math> 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식:<math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math> 을 적용하여 얻어진다



빛원뿔(light cone) 좌표계

  • 변수 <math>\xi=\frac{t+x}{2}</math>, <math>\eta=\frac{-t+x}{2}</math> 를 도입하면, 사인-고든 방정식 \ref{sgeqn}은 :<math>u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}</math> 로 쓰여진다
  • 미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 상수곡률곡면 에 대한 연구에서도 등장한다


Bäcklund 변환

  • 함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자:<math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math>
  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다:<math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>



traveling wave solution

  • <math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0</math>
  • <math>u(x,t)=f(x-vt)</math> 라 두자.
  • u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f-f+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다.
  • 적분하면 다음을 얻는다.:<math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math>
  • <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와 <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다:<math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math>
  • 이 상미분방정식의 해는:<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>



솔리톤 해의 예

  • kink (soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
  • antikink (anti-soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
  • kink-kink collison [PS1962]:<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]</math>
  • kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]:<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math>
  • Breather = coupled kink-antikink:<math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math>:<math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우:<math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math>



히로타 bilinear method

<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]</math>



역사



메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



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리뷰논문, 에세이, 강의노트



관련논문

  • C. Adam, M. Haberichter, A. Wereszczynski, The volume of a soliton, arXiv:1511.01104 [hep-th], November 03 2015, http://arxiv.org/abs/1511.01104, 10.1016/j.physletb.2016.01.009, http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2016.01.009, Phys. Lett. B754 (2016) 18-25
  • Widmer, Yannick. “On the Integrability of the Sine-Gordon Equation.” arXiv:1508.06123 [math-Ph], August 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06123.
  • Kotlarov, V. P. 2014. “Finite-Gap Solutions of the Sine-Gordon Equation.” arXiv:1401.4410 [nlin]. http://arxiv.org/abs/1401.4410.
  • Zarmi, Yair. “Sine-Gordon Equation in Higher Dimensions: A Fresh Look at Integrability.” arXiv:1405.0154 [nlin], May 1, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.0154.
  • Sutcliffe, Paul M. 1993. “Classical and Quantum Kink Scattering.” Nuclear Physics B 393 (1–2) (March 22): 211–224. doi:10.1016/0550-3213(93)90243-I.
  • Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
  • Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
  • [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555

관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

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  • [{'LOWER': 'sine'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
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