오일러-라그랑지 방정식

수학노트
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개요

\(J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx\) 를 최대 또는 최소로 만들기 위한 조건

\(0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}\)

 

 

고전물리의 최소작용원칙

\(\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t\)

\({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\)

 

 

예1. 입자의 운동

  • 위치가 q인 곳에서의 위치에너지가 \(V(q)\)로 주어지는 경우
  • 라그랑지안\[L(q,\dot{q})=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)\]
  • 작용\[\mathcal{S} = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot{q}) \,dt\]
  • 운동방정식
    • 오일러-라그랑지 방정식 \({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\) 을 적용하면, \(\frac{dV}{dq}+m\ddot{q}=0\)를 얻는다.

 

 

다변수인 경우로의 확장

\( I[f] = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, \dots , x_n, f, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\mathbf{x}\,\! ~;~~ f_{x_i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i}\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

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