양자 조화진동자

수학노트
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개요

고전 역학에서의 조화진동자

  • 고전 단순 조화 진동자
  • 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
  • 운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]



양자조화진동자

  • 위치 연산자와 운동량 연산자

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]

  • 해밀토니안

$$\hat H= \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2$$

  • 사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
  • 교환자 관계식

\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

  • 사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]


슈뢰딩거 방정식


energy eigenstates

  • \(\hbar=1\) 이라 가정하자
  • a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
  • 바닥 상태의 에너지
    • lowest energy state
    • \(\omega/2\)
  • $E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu$라 두자
  • 분배함수

$$ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} $$

역사



메모

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관련논문

  • Quesne, C. “Addendum to An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” arXiv:1508.02221 [math-Ph, Physics:nlin, Physics:physics, Physics:quant-Ph], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02221.
  • Quesne, C. “An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” Physics Letters A 379, no. 26–27 (August 2015): 1589–93. doi:10.1016/j.physleta.2015.04.011.