양자 바일 대수와 양자평면

수학노트
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개요


 

q-이항계수

  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
  • 다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]

 

 

하이젠베르크 대수와의 관계

$$ [P,Q] = -i \hbar I $$

  • 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의

$$ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} $$

$$ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), $$ $$ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) $$ $$ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) $$

  • $U(\alpha)=e^{i\alpha P}$, $V(\beta)=e^{i\alpha Q}$, $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
  • 적당한 completion을 거쳐 바일 $C^{*}$ 대수를 얻는다


realization

  • $u,v$를 $x$를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자

$$ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} $$

  • $(uvf)(x)=x f(x/q)$
  • $q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)$
  • 따라서 $uv=qvu$


역사

 

 

 

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관련논문

  • Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
  • Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
  • Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
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