리만 곡률 텐서

수학노트
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개요

  • 리만 다양체 위에 정의된 리만 접속 (connection) \(\nabla\)을 생각하자
  • 세 개의 벡터장 $X,Y,Z$가 주어지면, 새로운 벡터장 $R(X,Y)Z$를 다음과 같이 얻는다

\[R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\]


리만 곡률 텐서

성분

  • \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})\)
  • 크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산

\[{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+ \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}- \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\] \[{R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}\] \[R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .\]


성질

  • 리만 곡률 텐서는 다음의 대칭성을 갖는다
  1. $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$
  2. $R_{ijkl}=R_{klij}$
  3. $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$, 비앙키 항등식

선형 독립인 항의 개수

  • 리만다양체의 차원이 $n$이라 하자
  • 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 $n^2(n^2-1)/12$이 된다
  • $n=2$일 때, 모든 성분은 0 또는 $\pm R_{1212}$
  • $n=3$일 때, 모든 성분은 0 또는 $\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1223},\pm R_{1313},\pm R_{1323},\pm R_{2323}$
  • $n=4$일 때, 모든 성분은 0 또는

$$ \pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1214},\pm R_{1223},\pm R_{1224},\\ \pm R_{1234},\pm R_{1313},\pm R_{1314},\pm R_{1323},\pm R_{1324},\\ \pm R_{1334},\pm R_{1414},\pm R_{1423},\pm R_{1424},\pm R_{1434},\\ \pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\\ \pm R_{3434} $$이며, 여기서 $R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0$가 성립


곡률 2형식

  • \(R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s\)
  • \(\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega\)
  • \(\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}\)



곡면의 경우

  • 제1기본형식이 \(E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)\) 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 \( R_{jkl}^i\)는 0이다)\[ R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\]\[R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\]\[R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\]\[R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\]



역사



메모




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