"리만 곡면 위의 계량 텐서"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 18개는 보이지 않습니다)
6번째 줄: 6번째 줄:
 
:<math>4\frac{\partial}{\partial z}  
 
:<math>4\frac{\partial}{\partial z}  
 
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})</math>
 
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})</math>
 +
* [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자
 +
:<math>
 +
\Delta=4\frac{\partial}{\partial z}
 +
\frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}
 +
</math>
 +
 +
 +
 +
==푸앵카레 상반평면 모델==
 +
* [[푸앵카레 상반평면 모델]]
 +
* 리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}</math>
 +
* 포텐셜 <math>\Phi(z,\overline{z})=-\log y=-\log \frac{z-\overline{z}}{2i}</math>
 +
 +
 +
 +
==Fubini-Study metric==
 +
* <math>\Omega</math> : curvature form
 +
*  Chern class:<math>\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k</math>
 +
* <math>c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})</math>
 +
* Chern class of line bundles on the complex projective line
 +
*  V = <math>T\mathbb{C}P^1</math> : the complex tangent bundle of the complex projective line
 +
*  Kahler metric:<math>g=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math>
 +
* 포텐셜 <math>\log (1+|z|^2)=\log (1+z\bar{z})</math>:<math>\partial \bar\partial \log (1+|z|^2)=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math>
 +
*  Curvature form:<math>\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math>
 +
* <math>c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega</math>
 +
* <math>c_1(V) \not= 0</math> 의 증명 (V 가 trivial vector bundle이 아님을 알 수 있다):<math>\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\int \frac{2 dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\infty} \frac{-4\sqrt{-1}r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr d\theta \right)=4\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2</math>
 +
* [[입체사영 (stereographic projection)]]
  
  
11번째 줄: 38번째 줄:
 
* X : 리만 곡면
 
* X : 리만 곡면
 
* holomorphic line bundle <math>H\to X</math> 에 대한 에르미트 metric <math>e^{-\phi}</math>
 
* holomorphic line bundle <math>H\to X</math> 에 대한 에르미트 metric <math>e^{-\phi}</math>
 +
 +
 +
==메모==
 +
* Kähler 다양체
 +
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class
 +
[[분류:리만곡면론]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q377798 Q377798]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LEMMA': 'metric'}]
 +
* [{'LOWER': 'poincare'}, {'LEMMA': 'metric'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:30 기준 최신판

개요

  • 리만 곡면에 주어진 메트릭의 국소적 표현

\[ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dz\,d\overline{z}\] 여기서 λ는 양의 값을 갖는 \(z\)와 \(\overline{z}\)의 함수.

  • 메트릭의 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})\)

\[4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})\]

\[ \Delta=4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \]


푸앵카레 상반평면 모델

  • 푸앵카레 상반평면 모델
  • 리만 메트릭\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
  • 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})=-\log y=-\log \frac{z-\overline{z}}{2i}\)


Fubini-Study metric

  • \(\Omega\) : curvature form
  • Chern class\[\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k\]
  • \(c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})\)
  • Chern class of line bundles on the complex projective line
  • V = \(T\mathbb{C}P^1\) : the complex tangent bundle of the complex projective line
  • Kahler metric\[g=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
  • 포텐셜 \(\log (1+|z|^2)=\log (1+z\bar{z})\)\[\partial \bar\partial \log (1+|z|^2)=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
  • Curvature form\[\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
  • \(c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\)
  • \(c_1(V) \not= 0\) 의 증명 (V 가 trivial vector bundle이 아님을 알 수 있다)\[\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\int \frac{2 dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\infty} \frac{-4\sqrt{-1}r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr d\theta \right)=4\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2\]
  • 입체사영 (stereographic projection)


line bundle 에 정의된 에르미트 metric

  • X : 리만 곡면
  • holomorphic line bundle \(H\to X\) 에 대한 에르미트 metric \(e^{-\phi}\)


메모

  • Kähler 다양체


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LEMMA': 'metric'}]
  • [{'LOWER': 'poincare'}, {'LEMMA': 'metric'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=리만_곡면_위의_계량_텐서&oldid=52061"