"리만 세타 함수"의 두 판 사이의 차이

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\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\}
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* 사교군 $\Gamma_g$ 은 $\mathcal{H}_g$에 다음과 같이 작용
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* $C\tau + D$는 가역이고, $\Im{\gamma(\tau)}>0 $임을 확인
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* 이구사 부분군 $\Gamma_{1,2}=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}$, 여기서 $\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}$, $Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^{\mathrm{T}} \cdot\mathbf(x_2)$
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* $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$는 $A^tC, B^tD$의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치
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$\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$, $\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g$, $\Omega\in \mathcal{H}_g$에 대하여 다음이 성립한다
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\theta \left(^T(C\Omega + D)^{-1}\mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i \mathbf{z}^{T}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\theta(\mathbf{z},\Omega)
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==자코비 세타함수==
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* [[자코비 세타함수와 자코비 형식]]
 
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* $g=1$인 경우, $q=e^{2\pi i \tau}$
 
* $g=1$인 경우, $q=e^{2\pi i \tau}$
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==예==
 
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*[[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]
 
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:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}</math>
 
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:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
 
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* 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다
 
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:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math>
 
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* [[격자의 세타함수]]
 
* [[격자의 세타함수]]
 
* [[모듈라 형식(modular forms)]]
 
* [[모듈라 형식(modular forms)]]
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* [[지겔 모듈라 형식]]
  
  

2015년 4월 27일 (월) 05:59 판

개요

  • 아벨-야코비 정리에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
  • $\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\}$
  • $\Omega\in \mathcal{H}_g$, $\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g$
  • 리만세타함수 $\Theta: \mathcal{H}_g\times \mathbb{C}^g\to \mathbb{C}$ 를 다음과 같이 정의 ($\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g$ : characteristic)

$$ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{\nu _1} \\ \mathbf{\nu _2} \\ \end{array} \right] (\Omega ,\mathbf{z}) =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)} $$

  • characteristic이 $\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0\in \mathbb{C}^g$인 경우

$$ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \end{array} \right] (\Omega ,\mathbf{z})=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}} $$


모듈라 성질

사교군

  • $\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\Z)=\{M\in \operatorname{GL}(2g,\mathbb{Z})|M^T J_{g} M = J_{g}\}$

여기서 $$ J_{g} =\begin{pmatrix}0 & I_g \\-I_g & 0 \\\end{pmatrix} $$

  • $2g\times 2g$ 행렬

$$M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g,$$ $$ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_g \end{align} $$

  • 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

  • 사교군 $\Gamma_g$ 은 $\mathcal{H}_g$에 다음과 같이 작용

$$ \tau\mapsto \gamma(\tau)=(A\tau +B)(C\tau + D)^{-1} $$

  • $C\tau + D$는 가역이고, $\Im{\gamma(\tau)}>0 $임을 확인
  • 이구사 부분군 $\Gamma_{1,2}=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}$, 여기서 $\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}$, $Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^{\mathrm{T}} \cdot\mathbf(x_2)$
  • $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$는 $A^tC, B^tD$의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치


모듈라 변환

정리

$\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$, $\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g$, $\Omega\in \mathcal{H}_g$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \theta \left(^T(C\Omega + D)^{-1}\mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i \mathbf{z}^{T}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\theta(\mathbf{z},\Omega) $$


예:자코비 세타함수

$$ \begin{align*} \theta_{11}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } \\ \theta_{10}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} \\ \theta_{00} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} \\ \theta_{01} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } \end{align*} $$


역사


메모


관련된 항목들


사전 형태의 자료


에세이


관련논문

  • Beshaj, L., A. Elezi, and T. Shaska. “Theta Functions of Superelliptic Curves.” arXiv:1503.00297 [math], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00297.
  • Matsuda, Kazuhide. “The Algebraic Structure of Certain Theta Constants.” arXiv:1410.4153 [math], October 14, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4153.
  • Gelca, Razvan, and Alastair Hamilton. 2014. “The Topological Quantum Field Theory of Riemann’s Theta Functions.” arXiv:1406.4269 [math-Ph], June. http://arxiv.org/abs/1406.4269.
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