아벨-야코비 정리

수학노트
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개요

  • 정의
  • $X$ : 종수가 $g$인 컴팩트 리만 곡면
  • \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 \(\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}\)
  • \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form $\omega_1,\cdots,\omega_{g}$, 여기서 K는 X의 canonical bundle
  • 각 곡선 $\gamma_{j}$에 대하여, \(\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g\)는 rank가 2g인 격자 \(\Lambda\)를 생성
  • 아벨-야코비 사상 \(u \colon X \to J(X)\)를 다음과 같이 정의함 \[u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda\]
  • u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다
  • u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다
  • u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다
  • 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다


야코비안

  • $J(X)=\mathbb{C}^g/\Lambda$


역사



메모

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