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==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
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* [[세타함수론|세타함수 이론]]<br>
 
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==개요==
 
==개요==
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* [[아벨-야코비 정리]]에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
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* 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \  \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{  positive definite} \right\}</math>
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* characteristic <math>\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g</math>에 대하여, 리만세타함수 <math>\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}</math> 를 다음과 같이 정의
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:<math>
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\Theta
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\left[
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\begin{array}{c}
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\mathbf{\nu _1} \\
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\mathbf{\nu _2} \\
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\end{array}
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\right]
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(\mathbf{z},\Omega)
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=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i  \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g
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</math>
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* characteristic이 <math>\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0</math>인 경우
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:<math>
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\Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta
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\left[
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\begin{array}{c}
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\mathbf{0} \\
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\mathbf{0} \\
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\end{array}
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\right]
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(\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}}
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</math>
  
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[[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]
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==반주기성(quasi-periodicity)==
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* <math>\Omega\in \mathcal{H}_g</math> 대하여 격자 <math>\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g</math>를 정의할 수 있다
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* <math>\Theta(\mathbf{z},\Omega)</math>는 <math>\Lambda_{\Omega}</math>에 대하여 반주기성을 갖는다
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;정리
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<math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g</math>라 하자. 다음이 성립한다.
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:<math>
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\Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega)
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</math>
  
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<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}</math>
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==모듈라 성질==
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===지겔 모듈라 군===
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* 지겔 모듈라 군 <math>\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})</math>
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* 행렬 <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g</math>는 다음의 조건을 만족해야 한다
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:<math>
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\begin{align}
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A^tC=C^tA \\
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B^tD=D^tB \\
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A^tD-C^tB= I_g
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\end{align}
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</math>
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* 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>
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:<math>
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\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\}
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</math>
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* <math>\Gamma_g</math> 은 <math>\mathcal{H}_g</math>에 다음과 같이 작용
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:<math>
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\Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1}
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</math>
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* <math>C\Omega + D</math>는 가역이고, <math>\Im{\gamma(\Omega)}>0 </math>임을 확인
  
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<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
+
===이구사 부분군과 모듈라 성질===
 +
* 이구사 부분군 <math>\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}</math>, 여기서 <math>\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}</math>, <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)</math>
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* <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}</math>는 <math>A^tC, B^tD</math>의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치
  
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+
;정리
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이구사 부분군의 원소 <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}</math>에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>
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\Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g
 +
</math>
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여기서 <math>\zeta_\gamma</math>는 <math>\gamma</math>에 의존하는 적당한 8-th root of unity
  
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의 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다
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==예:자코비 세타함수==
 +
* [[자코비 세타함수와 자코비 형식]]
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* <math>g=1</math>인 경우, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>
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:<math>
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\begin{align*}
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  \theta_{11}(z;\tau)
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&:=
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\Theta
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\left[
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\begin{array}{c}
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1/2 \\
 +
1/2 \\
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\end{array}
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\right](\tau ,z)
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  =
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  \sum_{n \in \mathbb{Z}}
 +
  q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \,
 +
  \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \,
 +
    \left( z+\frac{1}{2} \right)
 +
  }
 +
\\
 +
\theta_{10}(z;\tau)
 +
&:=
 +
\Theta
 +
\left[
 +
\begin{array}{c}
 +
1/2 \\
 +
0 \\
 +
\end{array}
 +
\right](\tau ,z)
 +
=
 +
  \sum_{n \in \mathbb{Z}}
 +
  q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \,
 +
  \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z}
 +
\\
 +
  \theta_{00} (z;\tau)
 +
&:=
 +
\Theta
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\left[
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\begin{array}{c}
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0 \\
 +
0 \\
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\end{array}
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\right](\tau ,z)
 +
=
 +
  \sum_{n \in \mathbb{Z}}
 +
  q^{\frac{1}{2} n^2} \,
 +
  \E^{2 \pi i  n  z}
 +
\\
 +
  \theta_{01} (z;\tau)
 +
&:=
 +
\Theta
 +
\left[
 +
\begin{array}{c}
 +
0 \\
 +
1/2 \\
 +
\end{array}
 +
\right](\tau ,z)
 +
=
 +
  \sum_{n \in \mathbb{Z}}
 +
  q^{\frac{1}{2} n^2} \,
 +
  \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) }
 +
\end{align*}
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</math>
 +
* <math>\gamma=\left(
 +
\begin{array}{cc}
 +
a & b \\
 +
c & d \\
 +
\end{array}
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\right)\in SL_2(\mathbb{Z})</math>이고 <math>ac,bd</math>가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다
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:<math>
 +
\theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau)
 +
</math>
  
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<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math>
+
==역사==
 +
* 자코비 fundamenta nova
 +
* [[수학사 연표]]
  
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+
  
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==메모==
 +
* http://mathoverflow.net/questions/64261/whats-the-difference-between-a-riemann-theta-and-a-siegel-theta-function
 +
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms]
 +
* [[자코비의 네 제곱수 정리]]
 +
*  'singular series'
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**  Dickson
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**  Mordell
 +
**  Hardy
 +
**  Bateman
  
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==역사==
+
==관련된 항목들==
 +
* [[리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)]]
 +
* [[자코비 세타함수와 자코비 형식]]
 +
* [[격자의 세타함수]]
 +
* [[모듈라 형식(modular forms)]]
 +
* [[지겔 모듈라 형식]]
  
−
*  자코비 fundamenta nova<br>
 
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=theta+function
 
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
−
*  
 
  
−
 
 
  
−
 
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTVRMaWJRNEsybDQ/edit
 +
* [http://depts.washington.edu/bdecon/papers/pdfs/Swierczewski_Deconinck1.pdf Computing Riemann theta functions in Sage with applications]
  
−
==메모==
 
  
−
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/09/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms]<br>
+
==사전 형태의 자료==
−
* [[자코비의 네 제곱수 정리]]<br>
+
* https://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_modular_form
−
*  'singular series'<br>
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Igusa_group
−
**  Dickson<br>
+
* [http://dlmf.nist.gov/21 Chapter 21 Multidimensional Theta Functions]
−
**  Mordell<br>
 
−
**  Hardy<br>
 
−
**  Bateman<br>
 
  
−
 
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* Gus Schrader, [https://math.berkeley.edu/~guss/trisecanttalk.pdf Fay’s Trisecant Identity]
 +
* Arnaud Beauville [http://math.unice.fr/~beauvill/pubs/thetaon.pdf Theta functions, old and new]
 +
* Chai, [http://www.math.upenn.edu/~chai/papers_pdf/riemann-theta_v2.pdf Riemann's theta function]
  
−
 
+
==관련논문==
 +
* Shaul Zemel, Evaluating Theta Derivatives with Rational Characteristics, arXiv:1604.08195 [math.CV], April 27 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08195
 +
* Candelori, Luca. “The Algebraic Functional Equation of Riemann’s Theta Function.” arXiv:1512.04415 [math], December 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04415.
 +
* Kharchev, S., and A. Zabrodin. “Theta Vocabulary I.” Journal of Geometry and Physics 94 (August 2015): 19–31. doi:10.1016/j.geomphys.2015.03.010.
 +
* ———. “Theta Vocabulary II. Multidimensional Case.” arXiv:1510.02699 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02699.
 +
* Beshaj, L., A. Elezi, and T. Shaska. “Theta Functions of Superelliptic Curves.” arXiv:1503.00297 [math], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00297.
 +
* Matsuda, Kazuhide. “The Algebraic Structure of Certain Theta Constants.” arXiv:1410.4153 [math], October 14, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4153.
 +
* Gelca, Razvan, and Alastair Hamilton. 2014. “The Topological Quantum Field Theory of Riemann’s Theta Functions.” arXiv:1406.4269 [math-Ph], June. http://arxiv.org/abs/1406.4269.
  
−
==관련된 항목들==
+
[[분류:리만곡면론]]
  
−
* [[모듈라 형식(modular forms)]]<br>
+
==메타데이터==
−
* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br>
+
===위키데이터===
−
* [[데데킨트 에타함수]]<br>
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7510567 Q7510567]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'siegel'}, {'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'form'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:48 기준 최신판

개요

  • 아벨-야코비 정리에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
  • 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{ positive definite} \right\}\)
  • characteristic \(\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g\)에 대하여, 리만세타함수 \(\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}\) 를 다음과 같이 정의

\[ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{\nu _1} \\ \mathbf{\nu _2} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega) =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g \]

  • characteristic이 \(\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0\)인 경우

\[ \Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}} \]

반주기성(quasi-periodicity)

  • \(\Omega\in \mathcal{H}_g\) 대하여 격자 \(\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g\)를 정의할 수 있다
  • \(\Theta(\mathbf{z},\Omega)\)는 \(\Lambda_{\Omega}\)에 대하여 반주기성을 갖는다
정리

\(\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g\)라 하자. 다음이 성립한다. \[ \Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega) \]

모듈라 성질

지겔 모듈라 군

  • 지겔 모듈라 군 \(\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})\)
  • 행렬 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g\)는 다음의 조건을 만족해야 한다

\[ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_g \end{align} \]

  • 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)

\[ \mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\} \]

  • \(\Gamma_g\) 은 \(\mathcal{H}_g\)에 다음과 같이 작용

\[ \Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1} \]

  • \(C\Omega + D\)는 가역이고, \(\Im{\gamma(\Omega)}>0 \)임을 확인

이구사 부분군과 모듈라 성질

  • 이구사 부분군 \(\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}\), 여기서 \(\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}\), \(Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)\)
  • \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)는 \(A^tC, B^tD\)의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치
정리

이구사 부분군의 원소 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g \] 여기서 \(\zeta_\gamma\)는 \(\gamma\)에 의존하는 적당한 8-th root of unity

예:자코비 세타함수

\[ \begin{align*} \theta_{11}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } \\ \theta_{10}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} \\ \theta_{00} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} \\ \theta_{01} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } \end{align*} \]

  • \(\gamma=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in SL_2(\mathbb{Z})\)이고 \(ac,bd\)가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다

\[ \theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau) \]

역사


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Shaul Zemel, Evaluating Theta Derivatives with Rational Characteristics, arXiv:1604.08195 [math.CV], April 27 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08195
  • Candelori, Luca. “The Algebraic Functional Equation of Riemann’s Theta Function.” arXiv:1512.04415 [math], December 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04415.
  • Kharchev, S., and A. Zabrodin. “Theta Vocabulary I.” Journal of Geometry and Physics 94 (August 2015): 19–31. doi:10.1016/j.geomphys.2015.03.010.
  • ———. “Theta Vocabulary II. Multidimensional Case.” arXiv:1510.02699 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02699.
  • Beshaj, L., A. Elezi, and T. Shaska. “Theta Functions of Superelliptic Curves.” arXiv:1503.00297 [math], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00297.
  • Matsuda, Kazuhide. “The Algebraic Structure of Certain Theta Constants.” arXiv:1410.4153 [math], October 14, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4153.
  • Gelca, Razvan, and Alastair Hamilton. 2014. “The Topological Quantum Field Theory of Riemann’s Theta Functions.” arXiv:1406.4269 [math-Ph], June. http://arxiv.org/abs/1406.4269.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'siegel'}, {'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'form'}]
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