리만 세타 함수

개요

• 아벨-야코비 정리에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
• 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{ positive definite} \right\}\)
• characteristic \(\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g\)에 대하여, 리만세타함수 \(\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}\) 를 다음과 같이 정의

\[ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{\nu _1} \\ \mathbf{\nu _2} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega) =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g \]

• characteristic이 \(\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0\)인 경우

\[ \Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}} \]

반주기성(quasi-periodicity)

• \(\Omega\in \mathcal{H}_g\) 대하여 격자 \(\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g\)를 정의할 수 있다
• \(\Theta(\mathbf{z},\Omega)\)는 \(\Lambda_{\Omega}\)에 대하여 반주기성을 갖는다

정리

\(\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g\)라 하자. 다음이 성립한다. \[ \Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega) \]

모듈라 성질

지겔 모듈라 군

• 지겔 모듈라 군 \(\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})\)
• 행렬 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g\)는 다음의 조건을 만족해야 한다

\[ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_g \end{align} \]

• 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)

\[ \mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\} \]

• \(\Gamma_g\) 은 \(\mathcal{H}_g\)에 다음과 같이 작용

\[ \Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1} \]

• \(C\Omega + D\)는 가역이고, \(\Im{\gamma(\Omega)}>0 \)임을 확인

이구사 부분군과 모듈라 성질

• 이구사 부분군 \(\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}\), 여기서 \(\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}\), \(Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)\)
• \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)는 \(A^tC, B^tD\)의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치

정리

이구사 부분군의 원소 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g \] 여기서 \(\zeta_\gamma\)는 \(\gamma\)에 의존하는 적당한 8-th root of unity

예:자코비 세타함수

• 자코비 세타함수와 자코비 형식
• \(g=1\)인 경우, \(q=e^{2\pi i \tau}\)

\[ \begin{align*} \theta_{11}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } \\ \theta_{10}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} \\ \theta_{00} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} \\ \theta_{01} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } \end{align*} \]

• \(\gamma=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in SL_2(\mathbb{Z})\)이고 \(ac,bd\)가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다

\[ \theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau) \]

역사

• 자코비 fundamenta nova
• 수학사 연표

메모

• http://mathoverflow.net/questions/64261/whats-the-difference-between-a-riemann-theta-and-a-siegel-theta-function
• Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
• 자코비의 네 제곱수 정리
• 'singular series'
  • Dickson
  • Mordell
  • Hardy
  • Bateman

관련된 항목들

• 리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)
• 자코비 세타함수와 자코비 형식
• 격자의 세타함수
• 모듈라 형식(modular forms)
• 지겔 모듈라 형식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTVRMaWJRNEsybDQ/edit
• Computing Riemann theta functions in Sage with applications

사전 형태의 자료

• https://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_modular_form
• http://en.wikipedia.org/wiki/Igusa_group
• Chapter 21 Multidimensional Theta Functions

리뷰, 에세이, 강의노트

• Gus Schrader, Fay’s Trisecant Identity
• Arnaud Beauville Theta functions, old and new
• Chai, Riemann's theta function

관련논문

• Shaul Zemel, Evaluating Theta Derivatives with Rational Characteristics, arXiv:1604.08195 [math.CV], April 27 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08195
• Candelori, Luca. “The Algebraic Functional Equation of Riemann’s Theta Function.” arXiv:1512.04415 [math], December 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04415.
• Kharchev, S., and A. Zabrodin. “Theta Vocabulary I.” Journal of Geometry and Physics 94 (August 2015): 19–31. doi:10.1016/j.geomphys.2015.03.010.
• ———. “Theta Vocabulary II. Multidimensional Case.” arXiv:1510.02699 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02699.
• Beshaj, L., A. Elezi, and T. Shaska. “Theta Functions of Superelliptic Curves.” arXiv:1503.00297 [math], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00297.
• Matsuda, Kazuhide. “The Algebraic Structure of Certain Theta Constants.” arXiv:1410.4153 [math], October 14, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4153.
• Gelca, Razvan, and Alastair Hamilton. 2014. “The Topological Quantum Field Theory of Riemann’s Theta Functions.” arXiv:1406.4269 [math-Ph], June. http://arxiv.org/abs/1406.4269.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q7510567

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'siegel'}, {'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'form'}]