"리만 세타 함수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:48 기준 최신판

개요

아벨-야코비 정리에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{ positive definite} \right\}\)
characteristic \(\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g\)에 대하여, 리만세타함수 \(\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}\) 를 다음과 같이 정의

\[ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{\nu _1} \\ \mathbf{\nu _2} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega) =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g \]

characteristic이 \(\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0\)인 경우

\[ \Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}} \]

반주기성(quasi-periodicity)

\(\Omega\in \mathcal{H}_g\) 대하여 격자 \(\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g\)를 정의할 수 있다
\(\Theta(\mathbf{z},\Omega)\)는 \(\Lambda_{\Omega}\)에 대하여 반주기성을 갖는다

정리

\(\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g\)라 하자. 다음이 성립한다. \[ \Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega) \]

모듈라 성질

지겔 모듈라 군

지겔 모듈라 군 \(\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})\)
행렬 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g\)는 다음의 조건을 만족해야 한다

\[ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_g \end{align} \]

지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)

\[ \mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\} \]

\(\Gamma_g\) 은 \(\mathcal{H}_g\)에 다음과 같이 작용

\[ \Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1} \]

\(C\Omega + D\)는 가역이고, \(\Im{\gamma(\Omega)}>0 \)임을 확인

이구사 부분군과 모듈라 성질

이구사 부분군 \(\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}\), 여기서 \(\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}\), \(Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)\)
\(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)는 \(A^tC, B^tD\)의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치

정리

이구사 부분군의 원소 \(\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g \] 여기서 \(\zeta_\gamma\)는 \(\gamma\)에 의존하는 적당한 8-th root of unity

예:자코비 세타함수

자코비 세타함수와 자코비 형식
\(g=1\)인 경우, \(q=e^{2\pi i \tau}\)

\[ \begin{align*} \theta_{11}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } \\ \theta_{10}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} \\ \theta_{00} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} \\ \theta_{01} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } \end{align*} \]

\(\gamma=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in SL_2(\mathbb{Z})\)이고 \(ac,bd\)가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다

\[ \theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau) \]

역사

자코비 fundamenta nova
수학사 연표

메모

http://mathoverflow.net/questions/64261/whats-the-difference-between-a-riemann-theta-and-a-siegel-theta-function
Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
자코비의 네 제곱수 정리
'singular series'
- Dickson
- Mordell
- Hardy
- Bateman

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Gus Schrader, Fay’s Trisecant Identity
Arnaud Beauville Theta functions, old and new
Chai, Riemann's theta function

메타데이터

위키데이터

ID : Q7510567

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'siegel'}, {'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'form'}]

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 ==개요==
 * [[아벨-야코비 정리]]에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
-* 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \  \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{  positive definite} \right\}$
+* 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \  \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{  positive definite} \right\}</math>
-* characteristic $\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g$에 대하여, 리만세타함수 $\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}$ 를 다음과 같이 정의
+* characteristic <math>\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g</math>에 대하여, 리만세타함수 <math>\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}</math> 를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \Theta
 \left[
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 (\mathbf{z},\Omega)
 =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i  \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g
-$$
+</math>
-* characteristic이 $\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0$인 경우
+* characteristic이 <math>\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0</math>인 경우
-$$
+:<math>
 \Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta
 \left[
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 \right]
 (\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}}
-$$
+</math>
 ==반주기성(quasi-periodicity)==
-* $\Omega\in \mathcal{H}_g$ 대하여 격자 $\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g$를 정의할 수 있다
+* <math>\Omega\in \mathcal{H}_g</math> 대하여 격자 <math>\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g</math>를 정의할 수 있다
-* $\Theta(\mathbf{z},\Omega)$는 $\Lambda_{\Omega}$에 대하여 반주기성을 갖는다
+* <math>\Theta(\mathbf{z},\Omega)</math>는 <math>\Lambda_{\Omega}</math>에 대하여 반주기성을 갖는다
 ;정리
-$\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g$라 하자. 다음이 성립한다.
+<math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g</math>라 하자. 다음이 성립한다.
-$$
+:<math>
 \Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega)
-$$
+</math>
 ==모듈라 성질==
 ===지겔 모듈라 군===
-* 지겔 모듈라 군 $\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$
+* 지겔 모듈라 군 <math>\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})</math>
-* 행렬 $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g$는 다음의 조건을 만족해야 한다
+* 행렬 <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g</math>는 다음의 조건을 만족해야 한다
-$$
+:<math>
 \begin{align}
 A^tC=C^tA \\
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 A^tD-C^tB= I_g
 \end{align}
-$$
+</math>
-* 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$
+* 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>
-$$
+:<math>
 \mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\}
-$$
+</math>
-* $\Gamma_g$ 은 $\mathcal{H}_g$에 다음과 같이 작용
+* <math>\Gamma_g</math> 은 <math>\mathcal{H}_g</math>에 다음과 같이 작용
-$$
+:<math>
 \Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1}
-$$
+</math>
-* $C\Omega + D$는 가역이고, $\Im{\gamma(\Omega)}>0 $임을 확인
+* <math>C\Omega + D</math>는 가역이고, <math>\Im{\gamma(\Omega)}>0 </math>임을 확인
 ===이구사 부분군과 모듈라 성질===
-* 이구사 부분군 $\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}$, 여기서 $\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}$, $Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)$
+* 이구사 부분군 <math>\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}</math>, 여기서 <math>\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}</math>, <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)</math>
-* $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$는 $A^tC, B^tD$의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치
+* <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}</math>는 <math>A^tC, B^tD</math>의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치
 ;정리
-이구사 부분군의 원소 $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$에 대하여 다음이 성립한다
+이구사 부분군의 원소 <math>\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}</math>에 대하여 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g
-$$
+</math>
-여기서 $\zeta_\gamma$는 $\gamma$에 의존하는 적당한 8-th root of unity
+여기서 <math>\zeta_\gamma</math>는 <math>\gamma</math>에 의존하는 적당한 8-th root of unity
 ==예:자코비 세타함수==
 * [[자코비 세타함수와 자코비 형식]]
-* $g=1$인 경우, $q=e^{2\pi i \tau}$
+* <math>g=1</math>인 경우, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>
-$$
+:<math>
 \begin{align*}
    \theta_{11}(z;\tau)
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    \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) }
 \end{align*}
-$$
+</math>
-* $\gamma=\left(
+* <math>\gamma=\left(
 \begin{array}{cc}
   a & b \\
   c & d \\
 \end{array}
-\right)\in SL_2(\mathbb{Z})$이고 $ac,bd$가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다
+\right)\in SL_2(\mathbb{Z})</math>이고 <math>ac,bd</math>가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다
-$$
+:<math>
 \theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau)
-$$
+</math>
 ==역사==
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 ==메모==
-* [http://depts.washington.edu/bdecon/papers/pdfs/Swierczewski_Deconinck1.pdf Computing Riemann theta functions in Sage with applications]
 * http://mathoverflow.net/questions/64261/whats-the-difference-between-a-riemann-theta-and-a-siegel-theta-function
 * [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms]
@@ 171번째 줄: / 170번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTVRMaWJRNEsybDQ/edit
+* [http://depts.washington.edu/bdecon/papers/pdfs/Swierczewski_Deconinck1.pdf Computing Riemann theta functions in Sage with applications]
 ==사전 형태의 자료==
@@ 177번째 줄: / 178번째 줄: @@
 * [http://dlmf.nist.gov/21 Chapter 21 Multidimensional Theta Functions]
-==에세이==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Gus Schrader, [https://math.berkeley.edu/~guss/trisecanttalk.pdf Fay’s Trisecant Identity]
 * Arnaud Beauville [http://math.unice.fr/~beauvill/pubs/thetaon.pdf Theta functions, old and new]
 * Chai, [http://www.math.upenn.edu/~chai/papers_pdf/riemann-theta_v2.pdf Riemann's theta function]
 ==관련논문==
+* Shaul Zemel, Evaluating Theta Derivatives with Rational Characteristics, arXiv:1604.08195 [math.CV], April 27 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08195
+* Candelori, Luca. “The Algebraic Functional Equation of Riemann’s Theta Function.” arXiv:1512.04415 [math], December 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04415.
+* Kharchev, S., and A. Zabrodin. “Theta Vocabulary I.” Journal of Geometry and Physics 94 (August 2015): 19–31. doi:10.1016/j.geomphys.2015.03.010.
+* ———. “Theta Vocabulary II. Multidimensional Case.” arXiv:1510.02699 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02699.
 * Beshaj, L., A. Elezi, and T. Shaska. “Theta Functions of Superelliptic Curves.” arXiv:1503.00297 [math], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00297.
 * Matsuda, Kazuhide. “The Algebraic Structure of Certain Theta Constants.” arXiv:1410.4153 [math], October 14, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4153.
@@ 187번째 줄: / 193번째 줄: @@
 [[분류:리만곡면론]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7510567 Q7510567]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'siegel'}, {'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'form'}]