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2009년 9월 14일 (월) 05:46 판

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

e는 초월수이다

더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

로그함수의 경우

위의 증명에서 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

사인함수으

\(\pi\) 는 초월수이다

파이는 초월수이다 항목 참조

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>\pi</math> 는 초월수이다</h5>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">로그함수의 경우</h5>
+위의 증명에서 다음을 얻는다.
-* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조<br>
+또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">로그함수의 경우</h5>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">사인함수으</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>\pi</math> 는 초월수이다</h5>
+* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조<br>
+<br>
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>