맥도날드-메타 적분

개요

• $G$는 $\mathbb{R}^n$에 작용하는 유한반사군 (콕세터군)
• $R$은 루트시스템, $R_+$는 양의 루트
• $(\cdot,\cdot)$는 $\mathbb{R}^n$에 정의된 $(\alpha,\alpha)=2,\,\alpha\in R$을 만족하는 내적
• 다음이 성립한다

$$ \int_{\Bbb R''}\prod_{\alpha \in R_+} |(\alpha,x)|^{2 k}\, d\varphi(x)=\prod_{j=1}^n\frac{\Gamma(1+k d_j)}{\Gamma(1+k)}, $$ 여기서 $d_i$는 콕세터군의 차수이고 $\varphi$는 $\mathbb{R}^n$에 정의된 가우스 측도 $$ d\varphi(x):=\frac{e^{-|x|^2/2}}{(2\pi)^{n/2}}\, d x_1\cdots d x_n $$

관련된 항목들

• 셀베르그 적분(Selberg integral)

매스매티카 파일 및 계산리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSi1QSGF0bGdTaU0/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• P. Etingof, The Macdonald-Mehta integral
• S. Ole Warnaar, The Selberg Integral, 2011
• S. Ole Warnaar, Beta Integrals

관련논문

• Garvan, Frank G. “Some Macdonald-Mehta Integrals by Brute Force.” In $q$-Series and Partitions (Minneapolis, MN, 1988), 18:77–98. IMA Vol. Math. Appl. Springer, New York, 1989. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1019845.