뫼비우스 반전공식

수학노트
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개요

 

 

 

뫼비우스 함수

  • poset \(V\)에 대하여 다음 세 조건을 만족시키는 함수 \(\mu : V\times V \to R\) (R은 commutative ring with unity) 를 poset의 뫼비우스 함수라 부른다\[\mu(x,x)=1\]\[x<z\] 일 때, \(\sum_{x\leq y \leq z} \mu(x,y)=0\) (또는 \(\mu(x,z)=-\sum_{x\leq y < z} \mu(x,y)\)
    이외의 경우에는 \(\mu(x,y) = 0\)
  • Z행렬의 역행렬
  • 수론적 함수(산술함수, arithmetic function) 의 뫼비우스 함수는 자연수 집합에 약수 관계로 정의되는 poset에 대한 뫼비우스 함수이다

 

 

 

뫼비우스 반전공식

  • poset \(V\)에 정의된 함수 \(f : V \to R, g : V \to R\) 를 생각하자.\[g(x)=\sum_{z \leq x} f(z)\] 이면 \(f(x)=\sum_{z \leq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.
  • 쌍대 공식\[g(x)=\sum_{z \geq x} f(z)\] 이면 \(f(x)=\sum_{z \geq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.

 

 

 

응용

 

 

포함과 배제의 원리

집합 A의 부분집합 \(A_i\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\)

 

 

\(\{1,2,\cdots,n\}\) 의 부분집합과 포함관계에 대한 poset 을 생각하자. 뫼비우스 함수는 \(\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}\) 로 주어진다.

 

\(f(V)=|\underset{i\in V}{\cap }A_i|\)

\(g(V)=\left|\left\{a\in A \left| a\in A_i\forall i\in V\right.; a\notin A_j\forall j\notin V\right\}\right|\)

\(f(V)=\sum _{V\subseteq T} g(T)\) 이 성립한다.

뫼비우스 반전공식(쌍대)을 적용하면, 다음을 얻는다.

\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=g(\emptyset)=\sum _{\emptyset\subseteq T}\mu(\emptyset,T)f(T)=\sum _{T}(-1)^{|T|} f(T)\)

\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)\)

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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