뫼비우스 변환

간단한 소개

• 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수
  \(\frac{az+b}{cz+d}\)
  로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함. (여기서 a,b,c,d는 \(ad-bc \neq 0\) 을 만족시키는 복소수)
  
• 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
• 각도를 보존함.
• 조화비를 보존함.
• 기초적인 내용은
• 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
  
  • 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

 

 

• 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 복소함수론
• 미분기하학

 

관련된 대학원 과목

• 3차원 다양체

 

관련된 다른 주제들

• 17 Plane Crystallographic groups
• Finite reflection groups and Coxeter groups
• The modular group, j-invariant and the singular moduli
•  

 

표준적인 도서 및 추천도서

• The Geometry of Discrete Groups (Graduate Texts in Mathematics)
  
  • Alan F. Beardon

 

참고할만한 자료

• Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries
  
  • A. F. Beardon
  • The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278