물체의 낙하와 무한등비급수

수학노트
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개요

공을 떨어뜨렸을 때, 공이 멈출 때까지 시간은 얼마나 걸릴까?

공의 크기를 무시하고, 공기의 저항을 무시할 수 있는 이상적인 경우,

이 시간은 수렴하는 무한등비급수의 형태로 나타난다

 

우선, 아래 영상을 본 다음 사고 실험을 해보자

 

(출처 http://www.youtube.com/watch?v=A6I3JI4vJv0)

 

 

 

사고 실험

(지구에서)h 미터 높이에서 탄성계수가 e(<1)인 바닥에 공을 떨어뜨린다.(자유낙하)

그러면 이 공은 공중에서는 가속도가 g인 등가속도 운동을 할 것이고

바닥과 부딛혔을 때에는 비탄성 충돌을 할 것이다.

 

이 물체가 떨어지자마자 바닥에 부딛힐 때의 속도\(v_0\)와 시간 \(t_0\)는 역학적 에너지 보존의 법칙에 의하여,

\(mgh=\frac{mv_0^2}{2} \\ \therefore v_0 = \sqrt{2gh}\) 

\(v_0=gt_0& \therefore t_0= \sqrt{\frac {2h}{g}}\)

탄성계수가 e인 바닥에 공이 v의 속도로 부딛혀서 튕겨 나오면, 튕겨져 나오는 속도 v'은

\(e=-\frac{0-v'}{0-v} \\ v'=-ev\) 

크기만 따진다면 속도가 e배 된다.

다시말해, 처음 충돌한 뒤의 속도의 크기 \(v_1\)을 \(v_1=-ev_0\)이라 하고,

이라 하고, n번째 충돌 후 속도의 크기를 \(v_n\)이라 한다면,

 

수열 \(\{v_n\}\)은 공비가 e(<1)이고 초항이 \(v_1\)인 등비수열이 된다. 즉, \(v_n=ev_{n-1}\)이다.

 

지면에서 연직방향으로 v의 속력으로 운동하는 공이 낙하할 때까지 걸리는 시간t를 구해보면,

운동에너지가 보존되므로 속력의 크기는 같고 방향은 정 반대가 된다.

 

\(v-gt=-v , & t= \frac{2v}{g}\) 

 

자 그럼, 아까와 마찬가지로 수열 \(\{t_n\}\)을 정의하면 되는데, 이때 \(t_n\)은

 

 \(t_1=\frac{2v_1}{g}=\frac{2e\sqrt{2gh}}{g}=2e\sqrt{\frac{2h}{g}} \)

\(t_n = \frac{2v_n}{g}, & t_n = et_{n-1} \)  로 공비가 e이고 초항이 \(t_1\)인 등비수열이다.

 

n번째 충돌 후 공이 다시 바닥으로 낙하할 때까지 걸리는 시간Tn은

 

\(T_n=\sum_{k=0}^{n}t_k\) 

우리가 구하고 싶은 것은 공이 멈출 때 까지의 시간이다.

공이 멈춘다는 것은 속력이 0이 된다는 것인데,

수열 \(\{v_n\}\)은 위에서 말했듯, 공비가 1보다 작은 등비수열이므로 0에 수렴한다.

즉 공이 낙하하고 부딛히고 다시 낙하하고 하는 과정이 무한히 반복되어야 한다는 것이다.

 

따라서 우리가 구하고자 하는 시간은,

\(\lim_{n \to \infty} T_n=t_0+\sum_{n=1}^{\infty}t_n=\sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{t_1}{1-e}} \\=\sqrt{\frac{2h}{g}}(1+ \frac{2e}{1-e}})=\sqrt{\frac{2h}{g}}(\frac{1+e}{1-e})\) 가 나온다.

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

등비수열

무한등비급수

관련된 다른 주제들

등가속도 운동방정식

역학적 에너지 보존

탄성계수

지구(중력장)에서의 운동

 

참고할만한 도서

하이탑 물리 (역학부분)  http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ISBN=8900205749

고등학교 물리 교과서

참고할만한 자료

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