미분형식을 통한 곡면론

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개요

  • 미분기하학
  • 메트릭 텐서
  • (orthonomal) 프레임 \(\{e_1,e_2\}\)
  • 코프레임 \(\{\omega_1,\omega_2\}\)
  • 접속형식(1-form)\[\omega_{12}=-\omega_{21}\]
  • 곡률형식(2-form)\[d\omega_{12}\]
  • 카르탄 구조 방정식\[d\omega_{1}=\omega_{12}\wedge \omega_{2}\]\[d\omega_{2}=-\omega_{12}\wedge \omega_{1}\]\[d\omega_{12}(p)=-K(p)(\omega_{1}\wedge \omega_{2})(p)\]
  • 곡률형식에서의 \(K(p)\) 를 가우스곡률이라 부른다

 

 

  • \(e_1=f_{u}/\sqrt{E}\), \(e_2=f_{v}/\sqrt{G}\) 를 orthonormal frame 이라 하자
  • \(\omega_1=\sqrt{E}du\), \(\omega_2=\sqrt{G}dv\)
  • \(\omega_{12}=-\frac{(\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{G}}du+\frac{(\sqrt{G})_{u}}{\sqrt{E}}dv\)

 

 

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