"미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학"의 두 판 사이의 차이

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<h5>1-형식의 적분</h5>
 
<h5>1-형식의 적분</h5>
  
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* 매개곡선 C:  <math>\mathbf{x}(t)=( x(t), y(t), z(t))</math>, <math>a\leq t \leq b</math><br> 선적분<br><math>\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math><br>
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* 매개곡선 C:  <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))</math>, <math>a\leq t \leq b</math>
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* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
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*  C 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\cdot x'(t)+Q(\mathbf{r}(t))\cdot y'(t)+R(\mathbf{r}(t))\cdot z'(t)\,dt</math><br>
  
 
 
 
 
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* 3차원의 매개곡면 S : <math>\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))</math>, <math>(s,t)\in D</math>
 
* 3차원의 매개곡면 S : <math>\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))</math>, <math>(s,t)\in D</math>
 
* 2-form <math>\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz  \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy</math>
 
* 2-form <math>\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz  \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy</math>
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*  매개곡면 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt</math><br>
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*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt</math><br>
  
 
 
 
 

2010년 11월 30일 (화) 19:30 판

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개요

 

 

 

 

1-형식의 적분
  • 매개곡선 C:  \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
  • 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
  • C 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\cdot x'(t)+Q(\mathbf{r}(t))\cdot y'(t)+R(\mathbf{r}(t))\cdot z'(t)\,dt\)

 

 

2-형식의 적분
  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\], \((s,t)\in D\)
  • 2-form \(\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy\)
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt\)

 

 

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