선형대수학

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
  • 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
  • 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.



다루는 대상

  • 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상



중요한 개념 및 정리

  • 벡터공간
    • 스칼라와 벡터
    • 선형대수학 = 체의 모듈 이론
  • 선형사상
  • 행렬
    • 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
  • 연립방정식 풀기
    • row reduction 을 통한 해 구하기
    • 역행렬을 통한 해 구하기
    • LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
  • Fundamental spaces of a matrix
    • 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
  • Dimension 정리
  • 행렬식
  • 고유값, 고유벡터, 대각화
  • 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
    • 대각화의 일반화
    • Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
  • 내적공간
    • 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간
  • 특성 다항식


유명한 정리 혹은 재미있는 문제

  • 케일리-해밀턴 정리


선수 과목

  • 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
  • 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.


다른 과목과의 관련성

  • 다변수미적분학
  • 상미분방정식
  • 해석학
    • 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
    • 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
  • 양자역학
    • 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.



관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • Multilinear algebra
  • 코딩이론
    • 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
    • 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학
  • 이차형식
    • 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.
  • 유한군의 표현론
  • 리대수와 표현론



메모


관련된 항목들

리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문