미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

개요

• 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
• 미분연산자와 미분형식
• 다중적분과 미분형식

 

 

 

미분연산자

• 미분연산자
• \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\) 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다
  \(\nabla f=( f_x, f_y,f_z)\) 를 1-형식 \(f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\) 으로 이해하자.
  \(d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\)
  
• \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\) 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다
  벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)을 1-형식 \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\)로 이해하자.
  \(\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}\) 는 2-형식 \(\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\)
  \(d_1=\nabla\times\) 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다
  \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\)
  
• \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
• \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
• \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0\)

 

 

1-형식의 적분

• 매개곡선 C:  \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
• 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
• 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
  \(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt\)
  
• 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다
  \(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\)
  

(증명)

\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega\). ■

 

 

2-형식의 적분

• 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))\], \((u,v)\in D\)
• 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
• S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
  \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\)
  
• 곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다
  \(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\)
  

(증명)

 \({\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\) 을 관찰하자.

\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\). ■

 

 

응용1. 스토크스 정리

• 스토크스 정리
  \(\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\)
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• 수학사연표

 

 

 

 

 

 

다른 과목과의 관련성

• 다변수미적분학
  
  • 외적
  • 스토크스정리의 일반화
• 선형대수학
  
  • 행렬식
• 미분기하학

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=form
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전형태의 자료

• [1]http://ko.wikipedia.org/wiki/미분형식
• [2]http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_forms

 

 

관련논문

• Covariant and Contravariant Vectors
  
  • S. R. Deans, Mathematics Magazine, Vol. 44, No. 1 (Jan., 1971), pp. 5-8
• Differential Forms for Constrained Max-Min Problems: Eliminating Lagrange Multipliers
  
  • Frank Zizza, The College Mathematics Journal, Vol. 29, No. 5 (Nov., 1998), pp. 387-396
• What are Tensors?
  
  • Peter Scherk and Michael Kwizak, The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
• Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem
  
  • Hans Samelson, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530

 

관련도서

• Differential Forms and Applications
  
  • Manfredo P. Do Carmo
    

• From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classe
  [3]
  
  •  
    
  • Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave
    
  • 뒷부분은 학부생이 보기에 다소 어렵지만, 앞부분만으로도 가치가 있음.