"미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학"의 두 판 사이의 차이
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| − | * <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다<br> 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>을 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>로 이해하자. | + | * <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다<br> 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>을 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>로 이해하자.:<math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math> 는 2-형식 <math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>:<math>d_1=\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다:<math>F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math><br> |
* <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math> | * <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math> | ||
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* 매개곡선 C: <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))</math>, <math>a\leq t \leq b</math> | * 매개곡선 C: <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))</math>, <math>a\leq t \leq b</math> | ||
* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math> | * 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math> | ||
| − | * 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다 | + | * 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math><br> |
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* 3차원의 매개곡면 S : <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))</math>, <math>(u,v)\in D</math> | * 3차원의 매개곡면 S : <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))</math>, <math>(u,v)\in D</math> | ||
* 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math> | * 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math> | ||
| − | * S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다 | + | * S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math><br> |
| − | * 곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다 | + | * 곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math><br> |
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==응용1. 스토크스 정리== | ==응용1. 스토크스 정리== | ||
| − | * [[스토크스 정리]] | + | * [[스토크스 정리]]:<math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math><br> |
2013년 1월 12일 (토) 10:42 판
개요
- 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
- 미분연산자와 미분형식
- 다중적분과 미분형식
미분연산자
- 미분연산자
- \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\) 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다\[\nabla f=( f_x, f_y,f_z)\] 를 1-형식 \(f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\) 으로 이해하자.\[d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\]
- \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\) 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다
벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)을 1-형식 \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\)로 이해하자.\[\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}\] 는 2-형식 \(\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\)\[d_1=\nabla\times\] 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다\[F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\] - \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
- \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
- \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0\)
1-형식의 적분
- 매개곡선 C: \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
- 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
- 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다\[\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt\]
- 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다\[\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\]
(증명)
\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega\). ■
2-형식의 적분
- 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))\], \((u,v)\in D\)
- 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
- S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다\[\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\]
- 곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다\[\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\]
(증명)
\({\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\) 을 관찰하자.
\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\). ■
응용1. 스토크스 정리
- 스토크스 정리\[\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\]
역사
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
- Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- 수학사연표
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사전형태의 자료
관련논문
- Covariant and Contravariant Vectors
- S. R. Deans, Mathematics Magazine, Vol. 44, No. 1 (Jan., 1971), pp. 5-8
- Differential Forms for Constrained Max-Min Problems: Eliminating Lagrange Multipliers
- Frank Zizza, The College Mathematics Journal, Vol. 29, No. 5 (Nov., 1998), pp. 387-396
- What are Tensors?
- Peter Scherk and Michael Kwizak, The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
- Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem
- Hans Samelson, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
관련도서
- Differential Forms and Applications
- Manfredo P. Do Carmo
- Manfredo P. Do Carmo
- From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classe
[3]
-
- Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave
- 뒷부분은 학부생이 보기에 다소 어렵지만, 앞부분만으로도 가치가 있음.
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