미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 4월 10일 (일) 08:57 판
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개요
  • 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
  • 미분연산자
  • 다중적분과 미분형식

 

 

1-형식의 적분
  • 매개곡선 C:  \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
  • 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다
    \(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\)

(증명)

\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega\). ■

 

 

2-형식의 적분
  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))\], \((u,v)\in D\)
  • 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\)
  • 곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다
    \(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\)

(증명)

 \({\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\) 을 관찰하자.

\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\). ■

 

 

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