"바이어슈트라스 시그마 함수"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) (→관련논문) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
(같은 사용자의 중간 판 3개는 보이지 않습니다) | |||
3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장 | * 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장 | ||
* 사인함수와 비슷한 역할을 함 | * 사인함수와 비슷한 역할을 함 | ||
− | * 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수:<math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math | + | * 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수:<math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math> |
− | * 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, | + | * 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math> 을 사용하여, <math>\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)</math> 로 쓰기도 함 |
− | + | ||
− | + | ||
==로랑급수== | ==로랑급수== | ||
− | * z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다:<math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math | + | * z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다:<math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math> |
− | + | ||
− | + | ||
==바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계== | ==바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계== | ||
− | * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]:<math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math | + | * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]:<math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math> |
− | * 덧셈공식:<math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math | + | * 덧셈공식:<math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==세타함수로서의 시그마함수== | ==세타함수로서의 시그마함수== | ||
− | <math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> | + | <math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> |
<math>\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)</math> | <math>\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)</math> | ||
39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
<math>\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> | <math>\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==타원함수론== | ==타원함수론== | ||
61번째 줄: | 61번째 줄: | ||
<math>f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)</math>. ■ | <math>f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)</math>. ■ | ||
− | + | ||
− | + | ||
==역사== | ==역사== | ||
* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
− | + | ||
− | + | ||
==메모== | ==메모== | ||
77번째 줄: | 77번째 줄: | ||
* [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications] | * [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications] | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
89번째 줄: | 89번째 줄: | ||
* [[코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)|솔리톤]] | * [[코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)|솔리톤]] | ||
− | + | ||
− | + | ||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
104번째 줄: | 104번째 줄: | ||
− | + | ||
− | ==사전 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
112번째 줄: | 112번째 줄: | ||
* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions | * http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions | ||
− | + | ||
− | + | ||
==관련논문== | ==관련논문== | ||
124번째 줄: | 124번째 줄: | ||
[[분류:특수함수]] | [[분류:특수함수]] | ||
+ | |||
+ | ==메타데이터== | ||
+ | ===위키데이터=== | ||
+ | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q3075283 Q3075283] | ||
+ | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
+ | * [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}] |
2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판
개요
- 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
- 사인함수와 비슷한 역할을 함
- 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
- 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함
로랑급수
- z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]
바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계
- 바이어슈트라스 타원함수 ℘\[\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)\]
- 덧셈공식\[-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)\]
세타함수로서의 시그마함수
\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)
\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
타원함수론
모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다
\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)
(증명)
\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.
\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)
\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).
\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■
역사
메모
- The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus
- The higher-genus sigma function and applications
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_sigma_function
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions
관련논문
- Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
- Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
- Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
- Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
- Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q3075283
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]