바이어슈트라스 타원함수 ℘

개요

• 타원함수의 예

정의

• 2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의

\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]

• 이중주기를 갖는 함수

\[\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)\]

℘의 로랑급수

• 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.

\[\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\] 여기서 \[ g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6} \]

증명

함수 \(\zeta(z)\)를 다음과 같이 정의하자 \[\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})\]

함수 \(\wp(z)\)는 \[\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)\]을 만족하므로, \(\zeta(z)\)의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.

\[ \begin{align} \zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1} \end{align} \] 여기서 \[G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.\] 따라서 \[\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\] ■

• \(G_{2n}\)에 대해서는 모듈라 형식(modular forms)의 아이젠슈타인 급수 참조.

미분방정식

• 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\]

도함수의 해

• \(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
• \(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)\[e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]
• 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음\[y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\]

덧셈공식

\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)

자코비 세타함수를 이용한 표현

• http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/27/02/03/0002/

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf
• The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf
• TeX symbol \wp, Unicode U+2118

관련된 항목들

• 타원 모듈라 λ-함수
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• 바이어슈트라스 시그마 함수
• 바이어슈트라스 제타 함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHpIdmZmd3RGU2s/edit

사전 형태의 자료

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions

관련논문

• Brizard, Alain J. “Notes on the Weierstrass Elliptic Function.” arXiv:1510.07818 [math-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07818.
• Eilbeck, J. Chris, Matthew England, and Yoshihiro Ônishi. 2012. “Some New Addition Formulae for Weierstrass Elliptic Functions.” arXiv:1207.6274 [math], July. http://arxiv.org/abs/1207.6274.