"바이어슈트라스 타원함수 ℘"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 08:04 기준 최신판

개요

타원함수의 예

정의

2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의

\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]

이중주기를 갖는 함수

\[\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)\]

℘의 로랑급수

원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.

\[\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\] 여기서 \[ g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6} \]

증명

함수 \(\zeta(z)\)를 다음과 같이 정의하자 \[\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})\]

함수 \(\wp(z)\)는 \[\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)\]을 만족하므로, \(\zeta(z)\)의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.

\[ \begin{align} \zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1} \end{align} \] 여기서 \[G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.\] 따라서 \[\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\] ■

\(G_{2n}\)에 대해서는 모듈라 형식(modular forms)의 아이젠슈타인 급수 참조.

미분방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\]

도함수의 해

\(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
\(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)\[e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]
다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음\[y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\]

덧셈공식

\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)

자코비 세타함수를 이용한 표현

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/27/02/03/0002/

역사

메모

http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf
The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf
TeX symbol \wp, Unicode U+2118

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHpIdmZmd3RGU2s/edit

사전 형태의 자료

NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions

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 ==정의==
-*  2차원격자를 이루는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, :<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
+* 2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의
-*  이중주기를 갖는 함수:<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math>
+:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
+* 이중주기를 갖는 함수
+:<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math>
 ==℘의 로랑급수==
 *  원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
-:<math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math> 여기서 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math><
+:<math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math> 여기서
+:<math>
+g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\
+g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6}
+</math>
 ;증명
+함수 <math>\zeta(z)</math>를 다음과 같이 정의하자
+:<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})</math>
-<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) </math> 를 정의하자.
+함수 <math>\wp(z)</math>는
+:<math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)</math>을 만족하므로,
+<math>\zeta(z)</math>의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.
-<math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2}</math> 이므로 <math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)</math> 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.
+:<math>
+\begin{align}
-<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)</math>
+\zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\
+&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\
-<math>=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}</math>. 여기서 <math>G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}</math>.
+&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\
+&=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}
-따라서 <math>\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}</math>.
+\end{align}
+</math>
+여기서
+:<math>G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.</math>
+따라서
+:<math>\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}</math>
+■
 * <math>G_{2n}</math>에 대해서는 [[모듈라 형식(modular forms)]]의 아이젠슈타인 급수 참조.
 ==미분방정식==
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 * [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
 * [[바이어슈트라스 시그마 함수]]
+* [[바이어슈트라스 제타 함수]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHpIdmZmd3RGU2s/edit
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 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 ** [http://dlmf.nist.gov/23 Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions]
+==관련논문==
+* Brizard, Alain J. “Notes on the Weierstrass Elliptic Function.” arXiv:1510.07818 [math-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07818.
+* Eilbeck, J. Chris, Matthew England, and Yoshihiro Ônishi. 2012. “Some New Addition Formulae for Weierstrass Elliptic Functions.” arXiv:1207.6274 [math], July. http://arxiv.org/abs/1207.6274.
 [[분류:리만곡면론]]
+[[분류:특수함수]]