"반직접곱 (semidirect product)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 주어진 두 군으로부터 새로운 군을 얻는 방법의 하나
 
* 주어진 두 군으로부터 새로운 군을 얻는 방법의 하나
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* 두 군 $N$, $H$와 준동형사상  <math>\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>이 주어져 있을 때, 집합 <math>N\times H</math>에 다음과 같이 연산을 정의하자
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* 두 군 <math>N</math>, <math>H</math>와 준동형사상  <math>\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>이 주어져 있을 때, 집합 <math>N\times H</math>에 다음과 같이 연산을 정의하자
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(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2)
 
(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2)
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* 이 연산은 $N\times H$에 군의 구조를 준다
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** 항등원은 $(1,1)$
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** 항등원은 <math>(1,1)</math>
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** $(n,h)$의 역원은 $(\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})$
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* 이렇게 얻어진 군을 $N \rtimes H$로 나타낸다  
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* [[정이면체군 (dihedral group)]] <math>D_n</math>의 생성원과 관계식은 다음과 같다
 
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:<math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math>
 
:<math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math>
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* 크기가 $n$인 순환군 $C_{n}$과 $\mathbb{Z}_{2}=\{\pm 1\}$
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* 크기가 <math>n</math>인 순환군 <math>C_{n}</math>과 <math>\mathbb{Z}_{2}=\{\pm 1\}</math>
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* 준동형사상 $\varphi\colon \mathbb{Z}_{2} \to\operatorname{Aut}(C_n)$를 $\varphi(1)(g)=g,\, \varphi(-1)(g)=g^{-1}$로 정의하자
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* 준동형사상 <math>\varphi\colon \mathbb{Z}_{2} \to\operatorname{Aut}(C_n)</math>를 <math>\varphi(1)(g)=g,\, \varphi(-1)(g)=g^{-1}</math>로 정의하자
 
* <math>D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}</math> 로 쓸 수 있다
 
* <math>D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}</math> 로 쓸 수 있다
 
===푸앵카레 군===
 
===푸앵카레 군===
 
* [[로렌츠 변환과 로렌츠 군]]
 
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* 로렌츠군 $SO(3,1)$은 $\mathbb{R}^{3,1}$에 작용한다
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* 로렌츠군 <math>SO(3,1)</math>은 <math>\mathbb{R}^{3,1}</math>에 작용한다
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* 반직접곱 $\mathbb{R}^{3,1}\rtimes SO(3,1)$을 푸앵카레 군이라 부른다
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* 반직접곱 <math>\mathbb{R}^{3,1}\rtimes SO(3,1)</math>을 푸앵카레 군이라 부른다
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* 푸앵카레 군의 원소 $(a,\Lambda)$는 로렌츠군의 원소 $\Lambda : \mathbb{R}^{3,1}\to \mathbb{R}^{3,1}$와 벡터 $a\in \mathbb{R}^{3,1}$에 의해 주어진다  
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* 푸앵카레 군의 원소 <math>(a,\Lambda)</math>는 로렌츠군의 원소 <math>\Lambda : \mathbb{R}^{3,1}\to \mathbb{R}^{3,1}</math>와 벡터 <math>a\in \mathbb{R}^{3,1}</math>에 의해 주어진다  
  
  

2020년 11월 13일 (금) 08:17 기준 최신판

개요

  • 주어진 두 군으로부터 새로운 군을 얻는 방법의 하나
  • 두 군 \(N\), \(H\)와 준동형사상 \(\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)\)이 주어져 있을 때, 집합 \(N\times H\)에 다음과 같이 연산을 정의하자

\[ (n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2) \]

  • 이 연산은 \(N\times H\)에 군의 구조를 준다
    • 항등원은 \((1,1)\)
    • \((n,h)\)의 역원은 \((\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})\)
  • 이렇게 얻어진 군을 \(N \rtimes H\)로 나타낸다


예

정이면체군

\[\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\]

  • 크기가 \(n\)인 순환군 \(C_{n}\)과 \(\mathbb{Z}_{2}=\{\pm 1\}\)
  • 준동형사상 \(\varphi\colon \mathbb{Z}_{2} \to\operatorname{Aut}(C_n)\)를 \(\varphi(1)(g)=g,\, \varphi(-1)(g)=g^{-1}\)로 정의하자
  • \(D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}\) 로 쓸 수 있다

푸앵카레 군

  • 로렌츠 변환과 로렌츠 군
  • 로렌츠군 \(SO(3,1)\)은 \(\mathbb{R}^{3,1}\)에 작용한다
  • 반직접곱 \(\mathbb{R}^{3,1}\rtimes SO(3,1)\)을 푸앵카레 군이라 부른다
  • 푸앵카레 군의 원소 \((a,\Lambda)\)는 로렌츠군의 원소 \(\Lambda : \mathbb{R}^{3,1}\to \mathbb{R}^{3,1}\)와 벡터 \(a\in \mathbb{R}^{3,1}\)에 의해 주어진다


메모

  • semidirect product
  • semi-direct product


사전 형태의 자료

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