복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기(Finite-size scaling in complex networks)

재작년 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 위 제목의 논문을 조금 봤습니다. 연결망에 대해 말하기 전에 d차원 공간 위에서의 이징 모형에 대한 '표준' 유한크기 눈금잡기(FSS) 이론을 먼저 소개합니다. 환산온도가 아래 왼쪽처럼 정의되고, 임계점 근처에서 자기화, 감수율, 상관길이가 각각 환산온도의 거듭제곱꼴로 씌어집니다.

\(\epsilon\equiv (T_c-T)/T_c,\ m\sim \epsilon^\beta, \chi\sim |\epsilon|^{-\gamma},\ \xi\sim |\epsilon|^{-\nu}\)

그럼 자유에너지 밀도의 특이성 부분에 대한 FSS 이론은 아래와 같습니다.

\(f(\epsilon,h,L^{-1})=b^{-d}f(b^{y_T}\epsilon,b^{y_H}h,bL^{-1})\)

b는 눈금요소(scale factor)이고, L은 시스템의 크기(linear size)이고, h는 외부 장(external field)입니다. f를 h로 한 번 미분한 게 자기화입니다. h가 0인 경우의 자기화만 생각하겠습니다.

\(m=\partial_h f|_{h=0}= b^{-d+y_H}f'(b^{y_T}\epsilon,0,bL^{-1})\)

이제 함수 f'의 첫번째 변수가 1이 되도록 b를 결정할 수 있습니다. 그럼 m과 ε의 관계로만 쓸 수 있게 됩니다.

\(m=\epsilon^{(d-y_H)/y_T}f'(1,0,\epsilon^{-1/y_T}L^{-1}),\ \beta=(d-y_H)/y_T\)

결과적으로 위 식의 오른쪽처럼 자기화 지수 β를 y_H, y_T로 나타낼 수 있습니다. 이런 식으로 모든 임계지수가 y들로 표현됩니다. f'의 첫번째 변수가 아니라 세번째 변수가 1이 되도록 b를 잡을 수도 있습니다. 즉 b = L이죠. 그럼 m을 L로 나타낼 수 있습니다.

\(m=L^{-\beta y_T}f'(L^{y_T}\epsilon,0,1)=L^{-\beta y_T}g(L^{y_T}\epsilon)\)

다음으로 상관길이 역시 눈금요소를 이용해서 쓸 수 있습니다.

\(\xi(\epsilon,h)=b\xi(b^{y_T}\epsilon,b^{y_H}h)\)

역시 h가 0일 때 함수의 첫번째 변수가 1이 되도록 b를 정하면 아래와 같습니다.

\(\xi(\epsilon,h)=\epsilon^{-1/y_T}\xi(1,0),\ \nu=1/y_T\)

상관길이의 임계지수 ν에 관한 위의 두번째 식을 '초눈금잡기 관계식(hyperscaling relation)'이라 부릅니다.

함수 g의 변수의 ε을 상관길이 ξ로 바꿔쓰면 L과 ξ가 경쟁한다는 것을 알 수 있습니다. 시스템이 충분히 크다면(L >> ξ) 당연히 유한크기 효과가 사라질테고, 그 반대인 경우에는 임계점에서 무한히 커지는 상관길이가 시스템 크기에 의해 제약됩니다.

초눈금잡기 관계식은 차원이 낮은 시스템에서 성립하며 위의 FSS 이론이 잘 적용된다고 합니다. 반면 초눈금잡기 관계식이 더이상 성립하지 않는 높은 차원의 시스템에서 위의 FSS는 수정되어야 한다고 합니다. 다시 말해서 기존의 상관길이와는 다른 길이가 존재하여 이것이 시스템 크기와 경쟁한다고 생각할 수 있는데요, 이를 위해 방울 들뜸(droplet-excitation) 논의를 제시합니다.

란다우 자유에너지에 공간에 따른 자기화의 변화 항을 추가해서 써보겠습니다. (참고로 아래식의 역삼각형은 LaTeX에서 \nabla로 쓰는데요, 구글링해보니 역삼각형 모양의 악기인 하프의 그리스어가 nabla라고 하네요.)

\(f(m)=a(\nabla m)^2-\epsilon m^2 + um^4\)

우변의 앞의 두 항만 보면 임계점 근처에서 생기는 먼거리 상관(long range correlation)의 크기, 즉 상관길이가 ε에 따라 어떻게 변하는지 알 수 있습니다. 이를 가우스 길이(Gaussian length)라고 하고 다음처럼 씁니다.

\(\xi_G\sim \epsilon^{-\nu_G},\ \nu_G=1/2\)

이와 다른 상관길이는 균일한 질서의 바다('바다'는 제 표현입니다)에서 무질서한 방울이 들뜰 때 이 방울의 크기로서 정의됩니다. 이제 위 자유에너지 식에서 뒤의 두 항만 생각합니다. 임계점 바로 아래, 즉 질서 상태에서 열적 요동에 의해 나타날 수 있는 이런 방울의 에너지는 그 열에너지 정도라고 할 수 있습니다. 방울의 에너지는 들뜸에 필요한 자유에너지 밀도에 부피를 곱해주면 되죠. 임계점 바로 아래의 자기화는 ε^1/2 정도이므로 들뜸에 필요한 자유에너지 밀도 △f는 -ε² 정도가 됩니다.

\((\Delta f)\xi_T^d\sim k_BT,\ \xi_T\sim \epsilon^{-\nu_T},\ \nu_T=2/d=1/y_T\)

열적 요동에 의해 가우스 길이도 나타나지만 방울 길이(droplet length; 논문에 이 말이 있었는지 모르겠네요)도 나타납니다. 이 두 길이 중 어떤 놈이 우세하냐가 중요해집니다. 보시다시피 이는 공간차원 d에 따라 결정됩니다. d가 4보다 작으면 ν_T가 ν_G보다 크므로 방울 길이가 가우스 길이보다 우세해집니다. 반면 d가 4보다 크면 반대로 가우스 길이가 우세해지죠. 어느쪽이든 우세한 길이의 임계지수가 시스템의 FSS 지수(FSS exponent)로서 나타날 겁니다.

덧붙이자면, 가우스 길이는 공간차원과 무관하게 결정됩니다. 이는 마치 마구걷개에서 r²~t라는 관계식이 공간차원과 무관하다는 것과 비슷하죠. 그런데 방울 길이는 그 방울이 d차원 부피를 가지므로 당연히 d에 의존합니다. 이런 방울이 나타나게 해주는 열에너지는 정해져 있는데, 이를테면 10000개의 스핀을 뒤집을 수 있는 에너지라고 합시다. 1차원이라면 방울 길이는 10000이지만, 2차원이라면 방울 길이는 100으로 줄어들고, 4차원이라면 10으로 줄어들 겁니다. 즉 차원이 높아질수록 방울 길이는 당연히 줄어들고 어느 순간 가우스 길이보다 줄어드는데 그때의 차원이 윗임계차원(upper critical dimension)이 됩니다.

설명이 깔끔하지 못하네요. 좀더 인간의 언어로 풀어서 생각해보겠습니다. 끝.

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