복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기3

이 글이 이 논문에 대한 마지막 글이 될 것 같습니다. 앞 글에서는 평형통계물리 모형 중 가장 간단한 모형이라고 할 수 있는 이징 모형에 대한 유한크기 눈금잡기(FSS) 이론이었다면 이 글에서는 비평형통계물리 모형 중 가장 간단한 모형이라고 할 수 있는 접촉 과정(contact process; CP)에 대한 FSS 이론을 소개합니다.

입자의 소멸률은 1, 복제율은 p라고 하면, 환산복제율과 다양한 양들은 임계점(p_c) 근처에서 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\(&\epsilon\equiv (p-p_c)/p_c,\ \rho\sim\epsilon^\beta,\ \chi'=N(\Delta \rho)^2\sim\epsilon^{-\gamma'},\ \chi\sim|\epsilon|^{-\gamma},\\ &\xi\sim|\epsilon|^{-\nu},\ \tau\sim|\epsilon|^{-\nu_t},\ P_s\sim\epsilon^{\beta'}\)

ρ는 입자 밀도, χ'은 요동, χ는 감수율, ξ는 상관길이, τ는 풀림시간(relaxation time), P_s는 생존확률(survival probability)입니다. 접촉 과정의 경우 시간되짚기 대칭(time reversal symmetry)에 의해 β = β'이며, 일반적인 비평형 시스템에서 γ와 γ'은 다르다고 합니다.

임계점 근처의 흡수 상태에서 하나의 입자에서 시작한 클러스터(방울; droplet)의 평균 시공간 크기(average space-time size) S는 방울의 수명(lifetime) τ_l에 방울의 크기 ξ_c의 공간차원 제곱을 곱한 걸로 볼 수 있습니다.

\(S\sim \tau_l\xi_c^d\sim|\epsilon|^{-\sigma}\)

수명은 살아남은 방울의 평균 풀림시간이라 할 수 있는데요, 다시 말해서 생존확률 곱하기 풀림시간입니다. (앞에서는 흡수 상태라고 해놓고 논문에서는 활동 상태에서만 0보다 큰 값을 갖는 생존확률을 그냥 갖다 씁니다.)

\(\tau_l\sim P_s \tau\sim |\epsilon|^{-\nu_t+\beta'}\)

그런데 ν_t보다 β'이 크면 ε이 0으로 가면서 생존확률이 줄어드는 속도가 풀림시간이 커지는 속도보다 더 빨라집니다. 그렇다해도 임계점 근처에서 방울의 수명은 어느 정도 유한하다고 생각할 수 있으므로 이때 τ_l은 상수로 볼 수 있습니다. 다시 쓰면,

\(\tau_l\sim |\epsilon|^{-\max\{\nu_t-\beta',0\}}\)

입니다. 방울의 크기에 관한 임계지수를 ν_T라고 한다면 다음과 같은 눈금잡기 관계식을 얻습니다.

\(\sigma=d\nu_T+\max\{\nu_t-\beta',0\}\)

또한 감수율은 클러스터의 평균 질량 M에 비례한다는 게 잘 알려져 있습니다. 우선 M은 위에서 말한 방울의 시공간 크기 S에 입자의 밀도 ρ를 곱한 양으로 생각할 수 있습니다. 그럼 감수율이 왜 M에 비례하는지 힌릭센의 2000년 리뷰 논문에 있는 논의를 따라서 간단히 설명하겠습니다. 흡수 상태인데 외부 장 h가 걸려 있다고 하면 이로 인해 생긴 입자로부터 클러스터가 시작되겠죠. 즉 클러스터를 이루는 각 입자는 외부 장에 의해 생성된 입자로부터 적어도 하나는 연결되어 있어야 합니다.

\(\rho\sim 1-(1-h)^M\sim hM,\ \chi=\frac{\partial\rho}{\partial h}\sim M\sim |\epsilon|^{-\gamma}\)

그런데 M이 Sρ라고 했으므로,

\(\gamma=\sigma-\beta=d\nu_T-\beta+\max\{\nu_t-\beta',0\}\)

입니다.

이제 척도 없는 연결망에서 접촉 과정에 관한 랑제방 방정식을 써보겠습니다.

\(\partial_t\rho(t)=\epsilon\rho-b\rho^2-d\rho^{\lambda-1}+\sqrt{\rho}\eta(t)\)

여기서도 λ가 있는 항이 척도 없는 연결망에 의한 항입니다. 이 항도 앞 글에서 이징 모형에 대해 유도한 방식과 같은 방식으로 유도하면 됩니다. 이 항이 경쟁할 대상은 일단 ρ의 제곱항입니다. λ가 3보다 크면 λ - 1 제곱항은 무시할 수 있고 기존의 평균장(MF) 결과가 그대로 나옵니다.

\(\beta=1,\ \nu_t=1,\ \gamma=1\)

ν_t = 1은 위 랑제방 방정식에서 첫번째 항만 이용해서 방정식을 풀면 나옵니다.

\(\partial_t\rho(t)=\epsilon\rho,\ \rho(t)\sim e^{\epsilon t}=e^{-t/\tau},\ \tau\sim \epsilon^{-1}\)

마지막의 γ는 랑제방 방정식에 외부 장 h를 넣고 ρ에 비례하는 항까지만 풀면 나옵니다.

\(\partial_t\rho(t)=h+\epsilon\rho,\ \rho\sim \frac{h}{\epsilon},\ \chi=\frac{\partial\rho}{\partial h}\sim \epsilon^{-1}\)

앞의 결과와 이 결과는 λ가 2보다 크기만 하다면 λ에 상관 없이 언제나 성립합니다. 이 MF 결과를 이용하면

\(\bar\nu=d\nu_T=\gamma+\beta=2\)

이 나옵니다.

다음으로 λ가 3보다 작고 2보다 크면 ρ의 제곱항은 무시할 수 있습니다. 이번에도 역시 노이즈 항을 무시하고 풀면, 다음 결과를 얻습니다.

\(\beta=1/(\lambda-2),\ \bar\nu=(\lambda-1)/(\lambda-2)\)

마지막으로 λ가 2보다 작으면 ρ에 비례하는 항보다 ρ의 λ - 1 제곱 항이 우세해지므로 상전이가 일어나지 않습니다. 여기까지 해서 마치도록 하겠습니다.