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2012년 10월 31일 (수) 08:54 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다.
즉, :
- , 일 때 이므로, 부분합의 일반항을 알면 수열의 일반항을 구할 수 있다.
- : 등차수열의 부분합
- : 등비수열의 부분합
- 에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.
- 예
(알 필요는 전혀 없음. 이항계수가 나오는 걸 보고 신기해하면 됨.)
- 망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)
- 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
- ex)
- ex)
- 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
급수 : 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그것을 <급수> 라고 한다. 즉,
이면 의 급수의 값은 이다.
등비급수
등비급수의 예
\(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}\)
이를 이용하면,
\(1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}\)
- 코탄젠트 함수의 푸리에전개
\(f(2\tau):=i \cot \pi\tau= 1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{2\pi i n \tau}\)
\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\)
\(f(i)=i \cot i\frac{\pi}{2} = \coth \frac{\pi}{2} = \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}\)
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