삼중 대각행렬 tridiagonal matrix

수학노트
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개요

  • 삼중대각행렬

\(\left( \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & 0 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 & a_3 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 & 0 & 0 \\ c_1 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & c_2 & a_3 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 & a_4 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & 0 & 0 \\ c_1 & a_2 & b_2 & 0 & 0 \\ 0 & c_2 & a_3 & b_3 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & a_4 & b_4 \\ 0 & 0 & 0 & c_4 & a_5 \end{array} \right)\)

 

 

 

행렬식과 점화식

  • continuant 라 불리며, 다음 점화식을 만족시킨다
  • \(K(0) = 1\)
  • \(K(1) = a_1\)
  • \(K(n) = a_n K(n-1) - b_{n-1}c_{n-1} K(n-2)\)\[1\]\[a_1\]\[a_1 a_2-b_1 c_1\]\[a_1 a_2 a_3-a_3 b_1 c_1-a_1 b_2 c_2\]\[a_1 a_2 a_3 a_4-a_3 a_4 b_1 c_1-a_1 a_4 b_2 c_2-a_1 a_2 b_3 c_3+b_1 b_3 c_1 c_3\]

 

 

특수한 경우 1

  • \(b_i=1, c_i=-1\)인 경우. n=4의 경우 다음과 같은 행렬은 얻는다\[\left( \begin{array}{cccc} a_1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & a_2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & a_3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & a_4 \end{array} \right)\]

 

 

특수한 경우2

  • \(a_i=a,b_i=b, c_i=c\) 로 두는 경우\[\left( \begin{array}{cccc} a & b & 0 & 0 \\ c & a & b & 0 \\ 0 & c & a & b \\ 0 & 0 & c & a \end{array} \right)\]
  • 행렬식은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다

 

  • \(K(0) = 1\)
  • \(K(1) = a\)
  • \(K(n) = a K(n-1) - bc K(n-2)\)
  • n=4인 경우, \(K(4) = a^4 - 3 a^2 b c + b^2 c^2\)

 

 

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