상수계수 이계 선형미분방정식

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개요

 

 

상수계수 이계 선형미분방정식

  • 미분방정식 \(ay''+by'+cy=0\)의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
  • 특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \)

특성방정식이 서로 다른 두 근 $\alpha, \beta$을 갖는 경우

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

(두 함수의 론스키안(Wronskian) 은 \(e^{t (\alpha +\beta )} (-\alpha +\beta )\) 이다)

 

따라서 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.


특성방정식이 중근 $\alpha$을 갖는 경우

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.


증명

\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.

\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.

\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)

\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)

미분방정식에 대입하면,

\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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