상수계수 이계 선형미분방정식

상수계수 이계 선형미분방정식

• 미분방정식 <math>ay+by'+cy=0</math>의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
• 특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math>

특성방정식이 서로 다른 두 근 <math>\alpha, \beta</math>을 갖는 경우

함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>e^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.

(두 함수의 론스키안(Wronskian) 은 <math>e^{t (\alpha +\beta )} (-\alpha +\beta )</math> 이다)

따라서 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}</math> 꼴로 주어진다.

특성방정식이 중근 <math>\alpha</math>을 갖는 경우

함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>te^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}</math> 꼴로 주어진다.

증명

<math>ax^2 + bx + c = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0</math>이다.

<math>y(t) = te^{\alpha t}</math> 라 하자.

<math>y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}</math>

<math>y(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}</math>

미분방정식에 대입하면,

<math>ay(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0</math> ■

역사

• 수학사 연표

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1129902

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'linear'}, {'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'equation'}]