소모스-4 수열

수학노트
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개요

  • 점화식으로 정의되는 정수수열
  • \(a_{n+4}a_{n} = a_{n+3} a_{n+1} + a_{n+1}^2\)
  • 초기조건이 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\) 인 경우
  • 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, 126742987, 1687054711, 47301104551, 1123424582771, 32606721084786



로랑현상

  • 초기조건이 \(a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w\) 인 경우\[x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}\]
  • 점화식에서 얻어지는 항들이 모두 \(\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]\)의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다 [FZ2001]
  • 로랑현상에 의해 초기조건 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\)의 경우, 정수수열이 됨을 알 수 있다



타원곡선 \(y^2=4 x^3-4 x+1\)

  • 타원곡선 \(y^2=4 x^3-4 x+1\)
  • 점 \(P=(1,1)\)과 \(Q=(0,1)\)은 타원곡선 위에 놓여 있다.
  • 점 P+n Q 의 좌표를 구하면, 좌표의 분모로부터 소모스 수열을 얻을 수 있다




역사



메모

  • The density of primes $p\in \mathbb{Z}$ dividing at least one term of this sequence is $11/21$
  • Jones, Rafe, and Jeremy Rouse. “Galois Theory of Iterated Endomorphisms.” Proceedings of the London Mathematical Society 100, no. 3 (May 1, 2010): 763–94. doi:10.1112/plms/pdp051.

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Van der Kamp, Peter H. ‘Somos-4 and Somos-5 Are Arithmetic Divisibility Sequences’. arXiv:1505.00194 [math], 1 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.00194.
  • Yura, Fumitaka. “Hankel Determinant Solution for Elliptic Sequence.” arXiv:1411.6972 [math-Ph, Physics:nlin], November 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1411.6972.
  • Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
  • Swart, Christine, and Andrew Hone. 2005. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences. math/0508094 (August 4). http://arxiv.org/abs/math/0508094
  • [FZ2001]Fomin, Sergey, and Andrei Zelevinsky. 2001. The Laurent phenomenon. math/0104241 (April 25). http://arxiv.org/abs/math/0104241.