소수와 리만제타함수

수학노트
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개요

  • 소수가 무한히 많음을 증명하는 어려운 방법.

<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math>

<math>\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>

<math>\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})</math>

<math>\log(1+x) \approx x</math>

<math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}</math>

<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math>


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