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==슈테판-볼츠만의 법칙==
 
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*  흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함.<br><math>\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu</math><br>
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*  흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함.:<math>\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu</math><br>
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*  상수를 제외하면 다음과 같은 적분<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math><br>
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*  상수를 제외하면 다음과 같은 적분:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math><br>
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*  더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math><br><math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math><br>
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*  더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math><br>
 
* [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조<br>
 
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==메모==
 
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* [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성<br><math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math><br>
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* [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성:<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math><br>
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*  슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math><br>
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*  슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math><br>
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* <math>\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}</math> 로 두면, :<math> \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}</math><br><math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix </math>  
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* <math>\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}</math> 로 두면, :<math> \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}</math>:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix </math>  
 
:<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)</math>

2013년 1월 12일 (토) 10:10 판

개요

중심이항계수


\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

(증명)

\(2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)

를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다

\(I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\)

한편

\(I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\)



슈테판-볼츠만의 법칙

  • 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 \(\zeta(4)\) 의 계산이 등장함.\[\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu\]
  • 상수를 제외하면 다음과 같은 적분\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]
  • 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]
  • 푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조


메모

  • 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
  • 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
  • \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]


역사



관련된 항목들


사전 형태의 자료



관련논문

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