슈테판-볼츠만 법칙

 

 

 

 

 

중심이항계수

• 중심이항계수(central binomial coefficient)
  [[중심이항계수(central binomial coefficient)|]]\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)
  
• 폴리로그 함수(polylogarithm)를 통하여 이해가능
  

 

\(2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)

를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다

\(I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\)

한편

\(I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)

 

 

 

슈테판-볼츠만의 법칙

• 흑체의 온도과 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 \(\zeta(4)\) 의 계산이 등장함.
  \(\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu\)
  
• 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
  \(\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\)
  
• 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.
  \(\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}{x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+}e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\)
  \(\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\)
  
• 푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조
  

 

 

재미있는 사실

• 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성
  \(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
  
• 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우
  \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}{t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+}e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\)
  
• \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \( \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\)
  \(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\) 참고
  \(\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\)
  \(\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\)
   
  

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

관련된 항목들

 

• 감마함수
  
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
  
• 자코비 세타함수
  
• 코탄젠트
  
• 푸리에 변환
  

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

 

• http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan–Boltzmann_law
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=Bose-einstein

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
  
  • David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
• Note on the Bose-Einstein Integral Functions
  
  • John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951)
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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관련기사

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  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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