"슈테판-볼츠만 법칙"의 두 판 사이의 차이
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| − | <math>I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}</math> | + | <math>I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}</math> |
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| − | + | * 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함.<br><math>\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu</math><br> | |
| + | * 상수를 제외하면 다음과 같은 적분<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math><br> | ||
| + | * 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math><br><math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math><br> | ||
| + | * [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조<br> | ||
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| − | * | + | * [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성<br><math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math><br> |
| − | * | + | * 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우<br><math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math><br> |
| + | * <math>\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}</math> 로 두면, :<math> \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}</math><br><math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix </math> | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann | * http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Bose-einstein | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Bose-einstein | ||
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| − | * [http://arxiv.org/abs/1008.2331 The ubiquitous c | + | * [http://arxiv.org/abs/1008.2331 The ubiquitous c - from the Stefan-Boltzmann law to quantum information theory]<br> |
** John Cardy, Boltzmann Medal Lecture, Statphys24, Cairns 2010<br> | ** John Cardy, Boltzmann Medal Lecture, Statphys24, Cairns 2010<br> | ||
* [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]<br> | ||
| − | ** David Borwein and Jonathan M. Borwein, | + | ** David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198 |
* [http://prola.aps.org/abstract/PR/v83/i3/p678_1 Note on the Bose-Einstein Integral Functions]<br> | * [http://prola.aps.org/abstract/PR/v83/i3/p678_1 Note on the Bose-Einstein Integral Functions]<br> | ||
| − | ** John E. Robinson, | + | ** John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951) |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://www.ams.org/mathscinet | * http://www.ams.org/mathscinet | ||
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2012년 10월 16일 (화) 01:59 판
개요
중심이항계수
\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)
(증명)
\(2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
\(I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\)
한편
\(I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\)
슈테판-볼츠만의 법칙
- 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 \(\zeta(4)\) 의 계산이 등장함.
\(\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu\) - 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
\(\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\) - 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.
\(\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\)
\(\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\) - 푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조
메모
- 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성
\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\) - 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우
\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\) - \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]
\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \)
\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]
역사
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙
- http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Bose-einstein
관련논문
- The ubiquitous c - from the Stefan-Boltzmann law to quantum information theory
- John Cardy, Boltzmann Medal Lecture, Statphys24, Cairns 2010
- John Cardy, Boltzmann Medal Lecture, Statphys24, Cairns 2010
- On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
- David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
- Note on the Bose-Einstein Integral Functions
- John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951)
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/