"슈테판-볼츠만 법칙"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

흑체의 온도 \(T\)와 단위 면적당 복사 에너지 \(R(T)\)의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙

\[R(T)=\sigma T^4\] 여기서 \(\sigma\)는 슈테판-볼츠만 상수

플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
이 유도과정에는 \(\zeta(4)\)가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐

\[ \sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}}, \] 여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도

슈테판-볼츠만의 법칙

플랑크 함수의 적분으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 얻는다

\[R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4\]

상수를 제외하면 다음과 같은 적분

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]

더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]

푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조

메모

자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
\(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]

역사

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWtnRTdIMzBaUTg/edit

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004.

메타데이터

위키데이터

ID : Q704747

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}]
[{'LOWER': 'stefan'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'law'}]
[{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}]

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 ==개요==
+* 흑체의 온도 <math>T</math>와 단위 면적당 복사 에너지 <math>R(T)</math>의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙
+:<math>R(T)=\sigma T^4</math>
+여기서 <math>\sigma</math>는 슈테판-볼츠만 상수
+* 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
+* 이 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math>가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐
+:<math>
+\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}},
+</math>
+여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도
-==중심이항계수==
-* [[중심이항계수(central binomial coefficient)]]<br>
-* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 의 결과를 이용<br>
-:<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}</math>
-(증명)
-아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다.
-:<math>2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
-이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
-:<math>I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}</math>
-한편
-:<math>I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}</math>
 ==슈테판-볼츠만의 법칙==
+* [[플랑크 함수]]의 적분으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 얻는다
-* 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함.
+:<math>R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4</math>
-* 플랑크의 흑체 복사 적분
-:<math>I(T)=\frac{8\pi h}{c^3}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{8\pi^5k^4T^4}{15c^3h^3}</math><br>
 * 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
-:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math><br>
+:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math>
 * 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.
-:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math><br>
+:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math>
-* [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조<br>
+* [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조
 ==메모==
-* [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성:<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math><br>
+* [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성:<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-*  슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math><br>
+*  슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math>
 * <math>\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}</math> 로 두면, :<math> \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}</math>:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix </math>
 :<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)</math>
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 ==관련된 항목들==
-* [[양자 조화진동자]]
+* [[감마함수]]
-* [[감마함수]]<br>
+* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]]
-* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]]<br>
+* [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]]
-* [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]]<br>
+* [[자코비 세타함수]]
-* [[자코비 세타함수]]<br>
+* [[코탄젠트]]
-* [[코탄젠트]]<br>
+* [[푸리에 변환]]
-* [[푸리에 변환]]<br>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWtnRTdIMzBaUTg/edit
 ==사전 형태의 자료==
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 * http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law
-* http://en.wikipedia.org/wiki/Planck's_law
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
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 ==관련논문==
-* [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]
+* Moreira Jr., E. S., and T. G. Ribeiro. “Stefan-Boltzmann Law for Massive Photons.” arXiv:1512.05927 [hep-Th, Physics:quant-Ph], December 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05927.
-** David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
+* Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
-* [http://prola.aps.org/abstract/PR/v83/i3/p678_1 Note on the Bose-Einstein Integral Functions]
-** John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951)
 [[분류:수리물리학]]
-[[분류:리만 제타 함수]]
 [[분류:상수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q704747 Q704747]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}]
+* [{'LOWER': 'stefan'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'law'}]
+* [{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}]