안장점 근사

수학노트
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개요

  • 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
  • 복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_0\right)=0\)인 \(z=z_0\)를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
  • 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]

  • 일반적으로 N이 클 때, $\int e^{Nf(x)}\,dx$는 가우시안 적분으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다

\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

예1


\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,

\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)

\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)

\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)

\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)

\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.

따라서

\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)

예2





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관련논문

  • Explaining the Saddlepoint Approximation
    • Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
  • \(\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw\)