안장점 근사

개요

복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math>
최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f(x_0)|(x-x_0)^2</math>

<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math>

<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면,

<math>N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz</math>

<math>f \left( z \right) = \ln{z}-z</math>

<math>z_ 0=1</math> 일 때, 최대값을 가지며, <math>f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3</math> 가 된다.

따라서

<math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math>