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==개요==
  
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* 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
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* 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 '''안장점'''이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math>
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* 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다
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:<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math>
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* 일반적으로 N이 클 때, <math>\int e^{Nf(x)}\,dx</math>는 [[가우시안 적분]]으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다
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:<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math>
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==예1==
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* [[스털링 공식]] 에서 가져옴
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<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면,
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<math>N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz</math>
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<math>f \left( z \right) = \ln{z}-z</math>
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<math>f'(z) = \frac{1}{z}-1</math>
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<math>f''(z) = -\frac{1}{z^2}</math>
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<math>z_ 0=1</math> 일 때, 최대값을 가지며, <math>f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3</math> 가 된다.
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따라서
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<math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math>
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==예2==
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* [[에어리 (Airy) 함수와 미분방정식]]
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf]
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* http://physics.stackexchange.com/questions/14639/how-is-the-saddle-point-approximation-used-in-physics
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==관련된 항목들==
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* [[Oscillatory integral]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/ComplexVariable.htm
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* http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf
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* [http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf http://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/MOMP/lecture05.pdf]
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* [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf]
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==관련논문==
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*  Explaining the Saddlepoint Approximation
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** Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
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* <math>\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw</math>
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[[분류:적분]]

2020년 12월 28일 (월) 03:41 기준 최신판

개요

  • 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
  • 복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_0\right)=0\)인 \(z=z_0\)를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
  • 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]

  • 일반적으로 N이 클 때, \(\int e^{Nf(x)}\,dx\)는 가우시안 적분으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다

\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

예1


\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,

\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)

\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)

\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)

\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)

\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.

따라서

\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)

예2





역사



메모


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스




리뷰논문, 에세이, 강의노트




관련논문

  • Explaining the Saddlepoint Approximation
    • Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
  • \(\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw\)
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