역함수를 이용한 치환적분

수학노트
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개요

  • 역함수를 이용한 치환적분법

\[\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\] 여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)

 

  • 다음 부정적분

\[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\]

  • $G$는 다음과 같다

\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\) 따라서,  \[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\]

 

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