"역함수를 이용한 치환적분"의 두 판 사이의 차이
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* 역함수를 이용한 치환적분법 | * 역함수를 이용한 치환적분법 | ||
:<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math> | :<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math> | ||
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==예== | ==예== | ||
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* <math>G</math>는 다음과 같다 | * <math>G</math>는 다음과 같다 | ||
<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math> | <math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math> | ||
| − | 따라서, | + | 따라서, |
:<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math> | :<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math> | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:44 기준 최신판
개요
- 역함수를 이용한 치환적분법
\[\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\] 여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)
예
- 다음 부정적분
\[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\]
- \(G\)는 다음과 같다
\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\) 따라서, \[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\]