역행렬

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  • 역행렬

 

 

개요

 

 

 

가우스-조단 소거법을 이용한 계산

  • 주어진 행렬은 다음과 같다\[\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)\]
  • 가우스-조단 소거법 을 이용하기 위해, 다음과 같은 붙임행렬(augmented matrix)을 만든다\[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]
  • 위의 행렬에 소거법을 적용하면, 다음의 행렬들을 얻는다

\[\begin{array}{l} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array}\]

  • 위의 결과로부터 주어진 행렬의 역행렬은 다음과 같음을 알 수 있다\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\]

 

 

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