연속 대칭인 시스템의 요동과 골드스톤 모드

지난 글에서 연속 대칭과 그것의 스스로 깨짐 현상에 대한 얘기를 했는데요, 이미 가장 중요한 내용은 그 글에서 했습니다. 이 글에서는 골덴펠드(Goldenfeld)의 책을 참고하여 산수를 좀더 해보고자 합니다. n-벡터 스핀 모형의 자유에너지를 써보겠습니다. n이 2 이상인 경우만 '연속 대칭'이 가능하므로 그 경우만 다루겠습니다.

\(F(S)=\frac{1}{2}(\nabla S)^2+\frac{r_0}{2}S^2+\frac{u_0}{4}S^4,\ S=(S_1,\cdots,S_n)\)

S가 공간에 따라 균일하다고 하면 위 우변의 첫번째 항(공간으로 미분한 항)이 없어지고 남은 항들만 갖고 S²을 구합니다.

\(S=0\ \textrm{if}\ r_0>0,\ S^2=-\frac{r_0}{u_0}=m^2\ \textrm{if}\ r_0<0\)

위의 두번째 경우 즉 질서 상태일 때, S²의 크기는 정해져 있지만 S의 방향은 아직 정해지지 않았습니다. S가 벡터라는 걸 기억하시고요. 외부 장이 없으므로 그 방향은 아무데나 향할 수도 있습니다. 편의상 (1,0,...,0) 방향이라고 합시다.

\(\langle S\rangle = m\vec n,\ \vec n=(1,0,\cdots,0)\)

이제 S가 공간에 따라 균일하지 않고 일정한 요동을 하고 있다고 합시다. 그러면 앞에서 무시했던 자유에너지의 첫번째 항이 되살아나겠죠. S도 다음처럼 n차원 요동 φ를 이용해서 쓸 수 있습니다.

\(S=m\vec n + m(\phi_1\vec n +\vec\phi_\perp),\ \vec\phi_\perp=(0,\phi_2,\cdots,\phi_n)\)

S도 벡터인데 S만 벡터표시가 없고 나머지는 있는데 귀찮아서 안쓰다보니;;; 그런 겁니다. 이 S를 F(S)에 넣고 요동에 관한 항들만 2차항까지만 추려서 정리하면 다음과 같습니다.

\(F_{\phi}=\frac{m^2}{2}\left[(\nabla\phi_1)^2+(\nabla\phi_\perp)^2+2|r_0|\phi_1^2\right]\)

그럼 해밀토니안은 다음과 같겠죠.

\(H_\phi=\int d^dx F_{\phi}=\frac{m^2}{2}\int d^dx\left[(\nabla\phi_1)^2+(\nabla\phi_\perp)^2+2|r_0|\phi_1^2\right]\)

이걸 푸리에 변환해주면...

\(H_\phi=\frac{1}{V}\sum_k \left[\frac{1}{2}|\hat\phi_{1k}|^2 m^2(2|r_0|+k^2)+\frac{1}{2}|\hat\phi_{\perp k}|^2 m^2k^2\right]\)

이로부터 상관함수를 얻을 수 있다고 합니다.

\(G_\|(k)= \frac{m^{-2}}{2|r_0|+k^2},\ G_\perp(k)= \frac{m^{-2}}{k^2}\)

r₀이 음수일 때 질서 상태가 되고 이 상태들이 무한히 많을 수 있습니다. 온도가 그냥 0이라면 모든 스핀이 같은 방향을 가리키는 상태로 얼어버리겠지만, 열적 요동이 조금이라도 허용이 된다면 그 요동에 의해 스핀들이 어떠한 행동을 보일지를 위의 요동에 관한 상관함수들, 즉 반지름 방향과 그에 수직인 방향의 상관함수들로부터 생각할 수 있습니다.

반지름 방향으로 스핀이 변하려 해도 거기에는 에너지 비용이 크게 들어가므로 그 방향으로의 변화는 비교적 작을 겁니다. 반면 반지름에 수직인 방향으로는 이전 글에서도 말했듯이 0에 가까운 에너지 비용이 들어가므로 더 쉽게 변할 수 있습니다. 반지름 방향의 상관함수가 말해주는 건, k가 0으로 접근해도 상관함수가 유한하기 때문에 k가 0에 가까운 요동이 크지 않습니다. 길이로 본다면 상관길이가 발산하지 못하고 유한하게 머문다고 할 수 있습니다. 그런데 수직인 방향의 상관함수는 k가 0으로 접근할 때 상관함수가 발산해버립니다. 이는 상관길이가 발산한다는 것으로 이해할 수 있고요. 여기서 k=0인 모드를 골드스톤 모드(Goldstone mode; 골드스톤 방식)라고 합니다. 강자성 시스템에서 나타나는 골드스톤 모드로는 스핀파(spin wave)가 있다고 합니다.

다음으로 위의 '수직인 방향 상관함수'를 거리 r의 함수로 변환하는 식을 써보겠습니다. m²은 떼어버렸습니다.

\(G_\perp(r)=\int_0^\Lambda \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{e^{ikr}}{k^2}\)

여기서 공간차원 d가 2보다 작은지 2보다 큰지에 따라 위 적분이 발산하는지 아닌지가 결정됩니다. d가 2이면 적분 결과 ln k가 나오므로 발산하므로 d가 2 이하면 발산한다고 정리할 수 있습니다. 책에서는 이렇게 발산하는 요동에 의해 먼거리 질서가 파괴되어 온도가 0보다 큰 모든 영역에서 자기화가 사라진다고 말합니다.

\(\langle S\rangle =0\ \textrm{for}\ d\leq 2\)

이걸 머민-와그너 정리(Mermin-Wagner theorem)라고 한다네요. d=1인 경우는 이미 1차원 n-벡터 모형의 정확한 결과를 통해 알고 있었죠. 그런데 그게 2차원까지도 똑같다는 거고요. 그래서 d=2를 아래임계차원(lower critical dimension)이라 부릅니다. 즉 아래임계차원 이하의 공간차원에서는 강자성 상호작용에 의한 먼거리 질서가 아주 약간의 열적 요동에 의해서라도 붕괴될 수 있습니다. 평균장 어림이 정당화되기 시작하는 공간차원인 윗임계차원(upper critical dimension)과 대비해서 보시기 바랍니다.

저도 계속 공부를 하는 과정이라 그래서 이런 얘기들이 뭘 말하려고 하는건지 아직 가슴 깊이 와닿지는 않습니다. 다만 연속 대칭으로 인해 반지름에 수직인 방향으로의 요동이 매우 커질 수 있으므로 질서 상태가 더 쉽게 깨질 수 있다는 얘기라는 건 알겠습니다.

그 다음에 논의되는 내용은 d=2, n=2인 경우인데요, 머민-와그너 정리에 의해 d=2이면 T=0에서 상전이가 일어난다고 할 수 있는데, n=2이면 특별한 경우라고 하네요. 임계온도가 0부터 0보다 큰 어떤 온도까지의 '영역'으로 주어지고 그보다 높은 온도에서는 무질서 상태가 되는데요, 이런 상전이를 코스터리츠-사울리스 전이(Kosterlitz-Thouless transition), 줄여서 KT 전이라고 합니다. 이건 나중에 기회가 되면 정리해보겠습니다.