영거리 과정 - 이웃 상호작용

수학노트
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이번에는 독일 브레멘의 마이어-오르트만(H. Meyer-Ortmanns) 교수와 라이프찌히의 얀케(W. Janke) 교수 그룹의 공동연구 결과로 나온 아카이브 논문(arXiv:0907.4148v1)을 참고했습니다. 표기가 조금 다른데, 그냥 다른대로 쓰겠습니다;;; 지금까지 영거리 과정이 '영거리'였던 이유는 입자들이 같은 자리(site)에 있을 때에만 상호작용했기 때문입니다. 여기서는 한 자리와 그에 이웃한 자리에 있는 입자들 사이의 상호작용까지 고려하면 어떻게 될까를 다룹니다. 보통 이웃한 자리의 상호작용을 한곳 상호작용(local interaction)이라 부르므로 영거리 상호작용을 극-한곳 상호작용(ultralocal interaction)이라 부릅니다. 역시 번역은 제멋대로;;; 또한 더이상 '영거리 과정'이 아니네요.

이번에는 좀 알기 쉬운 예를 들어 정상상태를 구해보겠습니다. 단 4개의 자리로 이루어진 시스템을 생각합니다. 1번 자리의 입자는 2번 자리로만 움직이고, 2번 자리의 입자는 3번 자리로만, 3번은 4번으로, 4번은 1번으로 돌고도는 시스템입니다. i번째 자리에 mi개 입자가 있다고 합시다. 그럼 시스템이 어떤 상태 {m1,m2,m3,m4}에 있을 확률을 편의상 P(1234)라고 합시다;;; 1번 자리에 있던 입자가 2번으로 뛸 비율은 2번 자리의 입자 개수뿐만 아니라 4번 자리의 입자 개수에도 의존하는 걸 생각합니다. 이걸 u(m1|m4,m2)로 쓰는데 편의상;; u(1|42)라고 하겠습니다. 그럼 으뜸방정식의 정상상태 조건은 다음처럼 나옵니다. \[ \begin{aligned} &P(1^+2^-34)u(1^+|42^-)+P(12^+3^-4)u(2^+|13^-)\\ &+P(123^+4^-)u(3^+|24^-)+P(1^-234^+)u(4^+|31^-)\\ &=P(1234)[u(1|42)+u(2|13)+u(3|24)+u(4|31)] \end{aligned} \]

1+는 m1+1을 뜻하며, 1-는 m1-1을 뜻합니다. 막상 식을 쓰고나니 이게 뭔가 싶군요. '편의상' 쓰다보니;;; 이렇게 써놓으면 손으로 수식 전개할 때 편해서 종종 이럽니다. 영거리 과정에서는 정상상태가 완전히 분해된다(factorized)고 했죠. 여기서는 이웃 사이의 상호작용이 있으므로 아래처럼 '짝'으로 분해됩니다. 그래서 이걸 '짝분해된 정상상태(pair-factorized steady state; PFSS)'라 부르네요.

\[P(1234)=g(12)g(23)g(34)g(41)\]

이러한 가정도 자연스러운데요, 이웃하고만 상호작용하니까 이웃끼리 묶어서 분해할 수 있겠죠. 이걸 위의 정상상태 조건에 넣고요, 좌변의 항 하나에 우변의 항 하나를 같다고 합니다. 좌변의 첫번째 항과 우변의 두번째 항이 같다고 합시다. \[g(1^+2^-)g(2^-3)g(41^+)u(1^+|42^-)=g(12)g(23)g(41)u(2|13)\]

정리하면,

\[\frac{u(1^+|42^-)g(1^+2^-)g(41^+)}{g(12^-)g(41)}=\frac{u(2|13)g(12)g(23)}{g(12^-)g(2^-3)}\]

원래 앞의 식에 없었던 g(12-)를 양변의 분모에 더 넣었습니다. 이제 좌변은 1,2,4만의 함수고 우변은 1,2,3만의 함수죠. 변수가 다른데 양변이 같으므로(라고 써도 되나;;) 양변 모두 어떤 상수라고 합시다. 편의상 1로 놓겠습니다.

\[u(2|13)=\frac{g(12^-)g(2^-3)}{g(12)g(23)}\equiv f(12)f(23)\]

이제 좀 그림이 그려지죠. 우변의 f는 별로 중요하진 않지만 2번 자리에 있는 입자가 뛸 때 1번 자리와 3번 자리의 입자들에 의해 영향을 받지만, 1번 자리로부터의 영향과 3번 자리로부터의 영향은 분리해서 생각할 수 있다는 뜻입니다. 사실 논문에서는 u로부터 f를 먼저 정의한 후에 g가 도입되고 이로부터 정상상태가 짝분해된다는 걸 보이는데, 저는 거꾸로 해봤습니다.

여튼 좀 제대로 다시 씁니다.

\[u(m_i|m_{i-1},m_{i+1})\equiv f(m_i,m_{i-1})f(m_i,m_{i+1}),\ f(m,n)=\frac{g(m-1,n)}{g(m,n)}\]

\[P(\vec m)=\prod_{i=1}^N g(m_i,m_{i+1})\delta_{\sum_i m_i,M},\ g(m,n)=g(n,m)\]

그리고 g는 두 인수에 대해 대칭입니다. 저자들은 g를 다음과 같은 형태로만 쓰겠다고 합니다. \[g(m,n)=K(|m-n|)\sqrt{p(m)p(n)}\]

K(x)가 1이면 원래 ZRP로 돌아갑니다. 더 구체적으로 K와 p의 함수형태를 가정하여 풀기 전에, 일반적인 결과들을 먼저 좀더 보겠습니다.

P가 있으니, 바름틀 분배함수뿐만 아니라 큰 바름틀 분배함수도 얻어집니다. \[ \begin{aligned} Z_N(z)&=&\sum_{\{m_i\}}z^{\sum_im_i}\prod_i g(m_i,m_{i+1})\\ &=&\sum_{m_1,\cdots,m_N}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}={\rm Tr}\ T(z)^N \end{aligned} \] \[T_{mn}=z^{(m+n)/2}g(m,n)\]

위의 Tmn으로 이루어진 행렬 T가 얻어지는데 전달행렬의 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 그리고 분배함수는 T로 표현되고 결국 T의 고유값과 고유벡터를 구하면 문제가 풀리는 거고요. N이 매우 크다고 하면 가장 큰 고유벡터만 남고 나머지 것들은 모두 무시합니다. 여튼 이 분배함수로부터 입자 밀도를 ZRP에서 소개한 식을 그대로 이용하여 얻습니다. 그런데 입자 개수의 분포는 조금 다르게 정의됩니다. \[\pi(m)=\frac{1}{N}\Big\langle \sum_i\delta_{m,m_i}\Big\rangle=\frac{1}{Z_N(z)}\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}\]

역시 이걸 풀려면 T의 고유값과 고유벡터를 구해야 합니다. \[T\vec\phi=\lambda_{\rm max}\vec\phi,\ \vec\phi=\{\phi_0,\phi_1,\cdots,\phi_m,\cdots\}\]

어짜피 최대 고유값만 관심이 있습니다. \[Z_N(z)\simeq \lambda_{\rm max}^N,\ \pi(m)=\phi_m^2,\ \rho_c=\sum_m m\phi_m^2\]

고유벡터는 규격화되어 있다고 가정했고, 또한 임계 밀도가 존재한다고 가정했습니다. 이제 웬만큼 기본 세팅이 끝났네요. 오늘은 여기까지 합니다.