영거리 과정 - 짝분해된 정상상태 - old

영거리 과정 - 분해된 정상상태의 제목과 한 글자가 다르죠? '짝(pair)'이라는 말이 더 들어갔습니다. 짝분해된 정상상태는 영어로 pair-factorized steady state이며 간단히 PFSS라고 부릅니다. 이번에는 독일 브레멘의 마이어-오르트만(H. Meyer-Ortmanns) 교수와 라이프찌히의 얀케(W. Janke) 교수 그룹의 공동연구 결과로 나온 아카이브 논문(arXiv:0907.4148v1)을 참고했습니다. 표기가 조금 다른데, 그냥 다른대로 쓰겠습니다. 알아서 보세요;;; 여기서는 N개의 자리에 M개의 입자가 분포하며 i번째 자리에 m_i개의 입자가 놓여 있다고 합니다. 하나의 상태, 즉 하나의 배열(configuration)은 그냥 벡터로 표현합니다. \[\vec m=\{m_1,m_2,\cdots,m_N\}\]

이번에는 입자들이 같은 자리의(즉 거리가 0인) 다른 입자들뿐만 아니라 바로 옆 자리의 입자들과도 상호작용하는 모형입니다. 이웃한 자리의 상호작용은 '한곳(local)'이라고 부르며, 영거리 상호작용은 '극한곳(ultra-local)'이라고 부릅니다. 영어는 문제 없는데 한글로 옮기니 좀 이상해졌네요;;; 앞 글에서는 뜀 비율(hop rate)이 그 자리에 있는 입자의 개수만의 함수, 즉 u(n)으로 표현되었는데 이제 이웃한 자리의 입자 개수까지 고려해야 합니다. 아래 좌변처럼요. \[u(m_i|m_{i-1},n_{i+1})\equiv f(m_i,m_{i-1})f(m_i,m_{i+1})\]

그런데 이걸 우변처럼 쓰겠다고 가정합니다. 분자혼돈 가정 비슷한 거겠죠. 뭐 그러려니 할 수 있습니다. 이제 시스템이 어떤 상태에 있을 확률입니다.

\[P(\vec m)=\prod_{i=1}^N g(m_i,m_{i+1})\delta_{\sum m_i,M},\ f(m,n)=\frac{g(m-1,n)}{g(m,n)}\]

델타 함수는 입자의 개수가 M으로 보존된다는 조건을 말합니다. 또한 g(m,n) = g(n,m)인 대칭이 있다고 가정합니다. 이렇게 하면 앞 글에서처럼 으뜸 방정식의 정상상태 조건을 만족시킵니다. 이웃한 두 자리의 상호작용이 모형에 도입되었으므로 이를 기술하기 위해 P도 인수가 두 개인 g(m,n)을 이용해 기술되어야 합니다.

이제 바른틀(canonical) 분배함수를 정의해봅시다.

\[Z_{L,N}=\sum_{\{n_l\}}\prod_{l=1}^L f(n_l,n_{l+1})\delta\left(\sum_{l=1}^Ln_l-N\right)\]

이를 이용해서 큰 바른틀(grand-canonical) 분배함수도 정의할 수 있습니다.

\[Z_L(z)=\sum_NZ_{L,N}z^N=\sum_{\{n_l\}}z^{\sum_ln_l}\prod_{l=1}^L f(n_l,n_{l+1})\delta\left(\sum_{l=1}^Ln_l-N\right)\]

이걸 이용해서 입자의 평균 밀도를 구합니다.

\[\rho=\frac{1}{L}\]